Question

15．如圖所示，從A點以v₀=4m/s的水平速度拋出一質量m=1kg的小物塊（可視為質點），當物塊運動至B點時，恰好沿切線方向進入光滑圓弧軌道BC，經圓弧軌道后滑上與C點等高、靜止在粗糙水平面的長木板上，圓弧軌道C端切線水平．已知長木板的質量M=4kg，A、B兩點距C點的高度分別為H=0.6m，h=0.15m，R=0.75m，物塊與長木板之間的動摩擦因數μ₁=0.5，長木板與地面間的動摩擦因數μ₂=0.2，g=10m/s²．求：

（1）小物塊滑動至C點時，對圓弧軌道C點的壓力；
（2）長木板至少為多長，才能保證小物塊不滑出長木板？

Answer 1

分析 （1）根據動能定理求出物塊到達C點的速度，結合牛頓第二定理求出軌道C點對物塊的支持力，從而得出物塊對C點的壓力．
（2）當物塊在木板上滑動時，通過物塊與木板間的摩擦力和地面對木板的最大靜摩擦力比較，判斷木板處于靜止狀態，結合速度位移公式求出長木板的至少長度．

解答 解：（1）從A至C點，由動能定理得，$mgH=\frac{1}{2}m{{v}_{2}}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}$    ①
設C點受到的支持力為F_N，則有：${F}_{N}-mg=m\frac{{{v}_{2}}^{2}}{R}$，
由①式代入數據解得${v}_{2}=2\sqrt{7}$m/s，F_N=47.3N，
根據牛頓第三定理可知，物塊m對圓弧軌道C點的壓力為47.3N．
（2）由題意可知，小物塊m對長木板的摩擦力f=μ₁mg=0.5×10N=5N，
木板與地面間的最大靜摩擦力近似等于滑動摩擦力f′=μ₂（M+m）g=0.2×50N=10N，
因為f＜f′，所以小物塊在長木板上滑動時，長木板靜止不動，
小物塊在長木板上做勻減速直線運動，到長木板右端時速度剛好為零，
則長木板長度的至少為：l=$\frac{{{v}_{2}}^{2}}{2a}=\frac{{{v}_{2}}^{2}}{2{μ}_{1}g}=\frac{28}{2×5}m=2.8m$．
答：（1）小物塊滑動至C點時，對圓弧軌道C點的壓力為47.3N．
（2）長木板至少為2.8m，才能保證小物塊不滑出長木板．

點評 本題考查了動能定理、牛頓第二定律和運動學公式的綜合運用，對于第二問，判斷長木板是否運動是解決本題的關鍵．