Question

11．一個宇航員到達某一行星后，在該行星表面上做了如下實驗．如圖，在豎直平面內有一端固定的光滑軌道，其中AB是光滑的水平直軌道，BC是圓心為O，半徑為R的半圓軌道，兩軌道相切于B點，一小球從A點以初速度v₀開始做勻速直線運動，經過B點后沖上圓弧軌道，已知小球剛好能沿圓軌道經過最高點C，已知該星球的半徑為R₁，萬有引力常量為G，求：
（1）該行星的質量M；
（2）如果要在該行星上發射一顆衛星，求發射衛星的最小速度．

Answer 1

分析 （1）根據機械能守恒定律及向心力公式求行星表面的重力加速度，再由重力等于萬有引力列式求出行星的質量
（2）根據重力提供向心力求出行星的第一宇宙速度，即發射衛星的最小速度

解答 解：（1）從A到C根據機械能守恒定律，有$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}=mg•2R+\frac{1}{2}m{v}_{\;}^{2}①$
在最高點有：$mg=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{R}$②
聯立①②得$g=\frac{{v}_{0}^{2}}{5R}$③
行星表面的物體重力等于萬有引力$m′g=G\frac{Mm′}{{R}_{1}^{2}}$④
解得行星的質量：$M=\frac{{v}_{0}^{2}{R}_{1}^{2}}{5RG}$
（2）在該行星上發射衛星的最小速度，即第一宇宙速度$mg=m\frac{{v}_{1}^{2}}{{R}_{1}^{\;}}$
解得：${v}_{1}^{\;}=\sqrt{g{R}_{1}^{\;}}=\sqrt{\frac{{v}_{0}^{2}{R}_{1}^{\;}}{5R}}$
答：（1）該行星的質量M為$\frac{{v}_{0}^{2}{R}_{1}^{2}}{5RG}$；
（2）如果要在該行星上發射一顆衛星，發射衛星的最小速度$\sqrt{\frac{{v}_{0}^{2}{R}_{1}^{\;}}{5R}}$．

點評 解決本題的關鍵掌握萬有引力提供向心力和萬有引力等于重力這兩個理論，并能靈活運用，難度適中．