Question

9．小轎車從高速公路的出口A進入匝道，先勻減速直線通過下坡路段至B點（通過B點前后速率不變），再勻速率通過水平圓弧路段至C點，最后從C點沿平直路段勻減速到收費站D點停下．已知轎車在A點的速度v₀=72km/h，AB長L₁=75m；BC段為半徑R=20m的四分之一水平圓弧段，輪胎與BC段路面間的動摩擦因數μ=0.5，最大靜摩擦力可認為等于滑動摩擦力，CD段為平直路段長L₂=50m，重力加速度g取l0m/s²．求：
（1）若轎車到達B點速度剛好為v=36km/h，求轎車在AB下坡段的加速度的大小；
（2）轎車A點到D點全程的最短時間．

Answer 1

分析 （1）轎車在AB段做勻減速直線運動，已知初速度、位移和末速度，根據速度位移關系公式求解加速度；
（2）分三段，分別由運動學公式求解時間，即可得到總時間．

解答 解：（1）AB下坡段，根據速度位移關系有：${v}^{2}-{v}_{0}^{2}=-2{a}_{1}{L}_{1}$
解得：${a}_{1}=\frac{{v}_{0}^{2}-{v}^{2}}{2{L}_{1}}=\frac{2{0}^{2}-1{0}^{2}}{2×75}m/{s}^{2}=2m/{s}^{2}$
（2）汽車在BC段做圓周運動，恰好速度最大時，最大靜摩擦力提供向心力，有：$μmg=m\frac{v{'}^{2}}{R}$
代入數據解得：v'=10m/s　
設AB段時間為t₁，BC段時間為t₂，CD段時間為t₃，全程所用最短時間為t．
${L}_{1}=\frac{{v}_{0}+v'}{2}{t}_{1}$，解得：t₁=5s
$\frac{1}{2}πR=v'{t}_{2}$，解得：t₂=3.14s
${L}_{2}=\frac{1}{2}v'{t}_{3}$，解得：t₃=10s
則：t=t₁+t₂+t₃=18.14s
答：（1）轎車在AB下坡段的加速度的大小為2m/s²；
（2）轎車A點到D點全程的最短時間為18.14s．

點評 本題是運動學與動力學綜合題，能結合物體的運動情況，靈活選擇運動學的公式形式是關鍵，當不涉及加速度而要求時間時，可用位移等于平均速度乘以時間來求．