Question

1．如圖所示，木板與水平地面間的夾角θ可以隨意改變，當θ=30°時，可視為質點的一小木塊恰好能沿著木板勻速下滑．若讓該小木塊從木板的底端以大小恒定的初速率v₀的速度沿木板向上運動，隨著θ的改變，小物塊沿木板向上滑行的距離x將發生變化，重力加速度為g．
（1）求小物塊與木板間的動摩擦因數；
（2）當θ角為何值時，小物塊沿木板向上滑行的距離最小，并求出此最小值．

Answer 1

分析 （1）θ=30°時，可視為質點的小木塊恰好能沿著木板勻速下滑，根據平衡條件列方程求出摩擦因數；
（2）根據牛頓第二定律得出速度的表達式，然后根據位移公式得到上滑距離x的表達式，結合數學知識求x的極值．

解答 解：（1）當θ=30°時，木塊處于平衡狀態，對木塊受力分析：
mgsin θ=μF_N
F_N-mgcos θ=0
解得：μ=tanθ=tan30°=$\frac{\sqrt{3}}{3}$
（2）當θ變化時，設沿斜面向上為正方向，木塊的加速度為a，則：-mgsin θ-μmgcos θ=ma
由0-${v}_{0}^{2}$=2ax得：$x=\frac{{v}_{0}^{2}}{2g（sinθ+μcosθ）}=\frac{{v}_{0}^{2}}{2g\sqrt{1+{μ}^{2}}sin（θ+α）}$
令tan α=μ，則當α+θ=90°時，x最小，即θ=60°
所以x最小值為：${x}_{min}=\frac{{v}_{0}^{2}}{2g（sin60°+μcos60°）}=\frac{\sqrt{3}{v}_{0}^{2}}{4g}$
答：（1）小物塊與木板間的動摩擦因數為$\frac{\sqrt{3}}{3}$；
（2）當θ=60°時，小物塊沿木板上滑的距離最小，此最小值為$\frac{\sqrt{3}{v}_{0}^{2}}{4g}$．

點評 本題第二問中求加速度和位移是物理學中的常規問題，關鍵是由數學三角函數知識求極值，要重視數學方法在物理中的應用．