Question

14．“神舟”十號飛船于2013年6月11日17時38分在酒泉衛星發射中心成功發射，我國首位 80后女航大員王亞平將首次在太空為我國中小學生做課，既展示了我國在航天領域的實力，又包含著祖國對我們的殷切希望．火箭點火豎直升空時，處于加速過程，這種狀態下宇航員所受支持力F與在地球表面時重力mg的比值后k=$\frac{F}{mg}$稱為載荷值．己知地球的半徑為R=6.4×10⁶ m（地球表面的重力加速度為 g=9.8m/s²）
（1）假設宇航員在火箭剛起飛加速過程的載荷值為K=6，求該過程的加速度；（結論用g表示）
（2）求地球的笫一宇宙速度；
（3）“神舟”十號飛船發射成功后，進入距地面300km的圓形軌道穩定運行，估算出“神十”繞地球飛 行一圈需要的時間．（π²≈g）

Answer 1

分析 （1）由K值可得加速過程宇航員所受的支持力，進而還有牛頓第二定律可得加速過程的加速度．
（2）笫一宇宙速度等于環繞地球做勻速圓周運動的速度，此時萬有引力近似等于地球表面的重力，然后結合牛頓第二定律即可求出；
（3）由萬有引力提供向心力的周期表達式，可表示周期，再由地面萬有引力等于重力可得黃金代換，帶入可得周期數值．

解答 解：（1）由K=6可知，F=6mg，由牛頓第二定律可得：F-mg=ma  
即：6mg-mg=ma      
解得：
a=5g
（2）笫一宇宙速度等于環繞地球做勻速圓周運動的速度，由萬有引力提供向心力得：
mg=$\frac{m{v}^{2}}{R}$
所以：v=$\sqrt{gR}=\sqrt{9.8×6.4×1{0}^{6}}=7.92×1{0}^{3}$m/s
（3）由萬有引力提供向心力周期表達式可得：G$\frac{Mm}{r^2}$=mr（$\frac{2π}{T}$）²
在地面上萬有引力等于重力：G$\frac{Mm}{R^2}$=mg
解得：
T=$\sqrt{\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{g{R}^{2}}}$=$\sqrt{\frac{4×（6.7×1{0}^{6}）^{3}}{（6.4×1{0}^{6}）^{2}}}s$=5420s
答：（1）加速過程的加速度為5g；
（2）地球的笫一宇宙速度是7.92×10³m/s；
（3）飛船繞地球飛行一圈需要的時間為5420s．

點評 本題首先要掌握萬有引力提供向心力的表達式，這在天體運行中非常重要，其次要知道地面萬有引力等于重力．