Question

3．質量m的物塊被兩輕質繩懸掛于車中，兩者皆處于靜止狀態．求下列情況下，兩繩的拉力各為多少？（θ=37°）
①系統分別以g和2g的向左加速運動；
②系統分別以g和2g的向右加速運動．

Answer 1

分析 ①先根據牛頓第二定律求出水平繩的拉力恰好為零時小車的加速度，再根據提供的加速度，分析球的狀態，由牛頓第二定律求解．
②分析球的受力情況，運用正交分解法，由牛頓第二定律求解．

解答 解：①設水平繩的拉力恰好為零時小車的加速度為a₀．
對球，由牛頓第二定律得：
豎直方向有：Tsinθ=mg
水平方向有：Tcosθ=ma₀； 
解得 a₀=gcotθ=$\frac{4}{3}$g
由于a₁=g＜a₀，則兩繩均有拉力，設斜繩和水平繩的拉力分別為T₁和T₂．
由牛頓第二定律得：
豎直方向有：T₁sinθ=mg
水平方向有：T₁cosθ-T₂=ma₁； 
解得 T₁=$\frac{5}{3}$mg，T₂=$\frac{1}{3}$mg；
由于a₂=2g＞a₀，則斜繩有拉力，水平繩松馳，無拉力．設斜繩的拉力為T₃．
由牛頓第二定律得：T₃=$\sqrt{（mg）^{2}+（m{a}_{2}）^{2}}$=$\sqrt{5}$mg
②系統以g的加速度向右加速運動時，設斜繩和水平繩的拉力分別為T₄和T₅．
由牛頓第二定律得：
豎直方向有：T₄sinθ=mg
水平方向有：T₅-T₄cosθ=ma₃=mg 
解得 T₄=$\frac{5}{3}$mg，T₅=$\frac{7}{3}$mg；
系統以2g的加速度向右加速運動時，設斜繩和水平繩的拉力分別為T₆和T₇．
由牛頓第二定律得：
豎直方向有：T₆sinθ=mg
水平方向有：T₇-T₆cosθ=ma₄=m•2g 
解得 T₆=$\frac{5}{3}$mg，T₇=$\frac{10}{3}$mg；
答：
①系統以g的向左加速運動時；斜繩和水平繩的拉力分別為$\frac{5}{3}$mg和$\frac{1}{3}$mg；系統以2g的向左加速運動，斜繩和水平繩的拉力分別為$\sqrt{5}$mg和0；
②系統以g的向右加速運動時，斜繩和水平繩的拉力分別為$\frac{5}{3}$mg和$\frac{7}{3}$mg，系統以2g的向右加速運動斜繩和水平繩的拉力分別為$\frac{5}{3}$mg和$\frac{10}{3}$mg．

點評 本題是隱含的臨界問題，要注意系統向左加速時，水平繩可能松馳，沒有拉力．在分析球受力的基礎上，運用正交分解法研究．