Question

2．如圖所示，間距為L=1m的兩條平行的光滑金屬導軌固定在傾角為θ=30°的絕緣斜面上，導軌上端連接一個定值電阻R．導體棒a和b放在導軌上，與導軌垂直并良好接觸．斜面上水平虛線PQ以下區域內，存在著垂直穿過斜面向上的勻強磁場，磁感應強度為B=1T．現對a棒施以平行導軌斜向上的拉力，使它沿導軌勻速向上運動，此時放在導軌底端的b棒恰好能靜止．當a棒運動到磁場的上邊界PQ處時，撤去拉力，a棒將繼續沿導軌向上運動一小段距離后再向下滑動，a棒滑離導軌底端前已達到穩定速度．已知a棒、b棒和定值電阻的阻值均為R=1Ω，導軌電阻不計．a棒、b棒的質量分別為m_a=0.4kg、m_b=0.2kg，重力加速度為g=10m/s²．導軌底端與邊界PQ的距離為d=1m．求：
（1）a棒在磁場中沿導軌向上勻速運動的速度大小v；
（2）a棒離開導軌底端時的速度大小v₂；
（3）a棒在磁場中下滑的過程中，電阻R上產生的焦耳熱大小．

Answer 1

分析 （1）a向上運動的過程中b處于靜止，由共點力平衡即可求出電路中的電流，然后結合電路的結構以及電動勢的表達式即可求出a的速度；
（2）由安培力公式求出安培力，應用牛頓第二定律與平衡條件可以求出a向下勻速運動時的速度．
（3）應用能量守恒定律求出產生的熱量．

解答 解：（1）a棒向上勻速運動時，b棒靜止，對b棒有：m_bgsinθ=BI_bL
代入數據得：I_b=1A
a棒、b棒和定值電阻的阻值均為R=1Ω，流過a的電流是流過b的電流與流過R的電流的和，所以：I_a=2I_b=2A
電動勢：E=${I}_{a}（R+\frac{R•R}{R+R}）$
代入數據得：E=3V
又：E=BLv
得：v=$\frac{E}{IL}=\frac{3}{1×1}=3$m/s
（2）a棒往上運動離開PQ后，b棒滑離導軌，導軌中只有a棒與電阻R形成回路．a棒下滑離開導軌底端前達到穩定速度為v₂
對a棒有：m_agsinθ=BIL
又：$I=\frac{{E}_{2}}{2R}$，E₂=BLv₂
解得：${v}_{2}=\frac{{m}_{a}gsinθ•2R}{{B}^{2}{L}^{2}}$
代入數據得：v₂=4m/s
（3）a棒往下滑剛進入磁場時的速度與向上離開PQ時的速度大小相等，即：
v₁=v=3m/s，
a棒在磁場中下滑過程，根據能量守恒有：$\frac{1}{2}{m}_{a}{v}_{1}^{2}+{m}_{a}gdsinθ=\frac{1}{2}{m}_{a}{v}_{2}^{2}+Q$
代入數據解得：Q=0.6J
R上產生的焦耳熱與棒上產生的焦耳熱是相等的，${Q}_{R}=\frac{1}{2}Q$=0.3J
答：（1）a棒在磁場中沿導軌向上勻速運動的速度大小是3m/s；
（2）a棒離開導軌底端時的速度大小v₂是4m/s；
（3）a棒在磁場中下滑的過程中，電阻R上產生的焦耳熱大小是0.3J．

點評 本題是電磁感應與力學相結合的綜合題，分析清楚導體棒的運動過程是解題的關鍵，應用安培力公式、法拉第電磁感應定律、平衡條件、能量守恒定律可以解題．