Question

15．一平板小車靜止于光滑水平面上，其右端恰好和一個$\frac{1}{4}$光滑圓弧固定軌道AB的底端B等高對接，如圖所示．已知小車質量M=3kg，長L=2.1m，圓弧軌道半徑R=0.8m．現將一小滑塊a由軌道頂端A靜止釋放，a滑到低端B后與停在B端的小滑塊b發生彈性碰撞，a、b可視為質點，其質量都為m=1kg，小車上表面的動摩擦因數μ=0.3，求：（取g=10m/s²）
（1）滑塊a到達底端B時的速度大小v₀及軌道對a的支持力N的大小；
（2）a、b碰后瞬間的速度大小v_a、v_b；
（3）通過計算判斷滑塊b能否滑離小車．

Answer 1

分析 （1）根據機械能守恒求出滑塊a從A點運動到B點時的速度，在B點，由合力提供向心力，根據牛頓第二定律求出軌道對a的支持力．
（2）a、b發生彈性碰撞，由系統的動量守恒定律和機械能守恒定律列式求解碰后瞬間兩球的速度．
（3）假設b不能滑離小車，最終兩者達到共速，根據動量守恒和能量守恒求解b與小車的相對位移，再與車長比較，即可判斷．

解答 解：（1）a從A端下滑到B端的過程機械能守恒，有
  mgR=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
解得 v₀=4m/s
在B點，根據牛頓第二定律有
  N-mg=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$
解得 N=30N
（2）a、b發生彈性碰撞，滿足動量守恒和機械能守恒，取向左為正方向，則動量守恒定律和機械能守恒定律分別得：
   mv₀=mv_a+mv_b
$\frac{1}{2}mv_0^2=\frac{1}{2}mv_a^2+\frac{1}{2}mv_b^2$
解得 v_a=0；v_b=4m/s
（3）假設b不能滑離小車，最終兩者達到共速v，b相對小車滑行的距離為d．
根據動量守恒和能量守恒有
   mv_b=（M+m）v
   $μmgd=\frac{1}{2}mv_b^2-\frac{1}{2}（m+M）v_{\;}^2$
解得 d=2m＜L=2.1m
所以假設成立，即b不能滑離小車．
答：
（1）滑塊a到達底端B時的速度大小v₀是4m/s，軌道對a的支持力N的大小是30N；
（2）a、b碰后瞬間的速度大小v_a、v_b分別為0和4m/s．
（3）滑塊b不能滑離小車．

點評 本題按時間順序分析小球的運動情況，把握各個過程的物理規律是關鍵．要知道彈性碰撞遵守兩大守恒定律：動量守恒定律和機械能守恒定律，兩球質量時會交換速度．