Question

10．宇宙中存在一些離其他恒星較遠的、由質量相等的三顆星組成的三星系統，通常可忽略其他星體對它們的引力作用．已觀測到穩定的三星系統存在形式之一：三顆星位于同一直線上，兩顆環繞星圍繞中央星在同一半徑為R的圓形軌道上運行，設每顆星的質量均為M，則（　�。�

• A． 環繞星運動的線速度為$\sqrt{\frac{GM}{R}}$
• B． 環繞星運動的線速度為$\sqrt{\frac{5GM}{4R}}$
• C． 環繞星運動的周期為4πR$\sqrt{\frac{R}{5GM}}$
• D． 環繞星運動的周期為2πR$\sqrt{\frac{R}{GM}}$

Answer 1

分析 對于某一個環繞星而言，受到兩個星的萬有引力，兩個萬有引力的合力提供環繞星做圓周運動的向心力．

解答 解：對某一個環繞星，萬有引力提供向心力，根據牛頓第二定律，有
$G\frac{{M}_{\;}^{2}}{{R}_{\;}^{2}}+G\frac{{M}_{\;}^{2}}{（2R）_{\;}^{2}}=M\frac{{v}_{\;}^{2}}{R}=M{ω}_{\;}^{2}R=M\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}R$，
解得：$v=\sqrt{\frac{5GM}{4R}}$，$ω=\sqrt{\frac{5GM}{4{R}_{\;}^{3}}}$，$T=4π\sqrt{\frac{{R}_{\;}^{3}}{5GM}}$=$4πR\sqrt{\frac{R}{5GM}}$，故BC正確，AD錯誤；
故選：BC

點評 解決本題的關鍵掌握萬有引力提供向心力，兩個萬有引力的合力提供環繞星做圓周運動的向心力，選擇合適的向心力公式列式求解．