Question

5．如圖所示，AB是傾角為θ=53°的粗糙直軌道，BCD是半徑為R的光滑圓弧軌道，AB恰好在B點與圓弧相切．一個質量為m的物體（可以看作質點）從直軌道上的P點由靜止釋放，結果它能在兩軌道間做往返運動．已知P點與圓弧的圓心O等高，物體與軌道AB間的動摩擦因數為μ=0.5．sin53°=0.8，cos53°=0.6．求：
（1）物體做往返運動的整個過程中在AB軌道上通過的總路程s；
（2）為使物體能順利到達圓弧軌道的最高點D（E、O、D為同一條豎直直徑上的3個點），釋放點距B點的距離L應滿足什么條件．
（3）若物體從距B點d=3R處靜止滑下，則物體離開圓軌時離圓心O點的高度是多少？

Answer 1

分析 （1）物體在斜面上運動時，由于要克服摩擦力做功，機械能不斷損失，最終物體以B（還有B關于OE的對稱點）為最高點，在圓弧底部做往復運動，對整個過程，運用動能定理可求出物體在AB軌道上通過的總路程s．
（2）根據圓周運動中物體能過最高點D的條件求出D點的速度，然后根據動能定理求出L，從而得到L應滿足的條件．
（3）由牛頓第二定律求出物體到達B點的速度，然后應用動能定理與幾何知識求出高度．

解答 解：（1）因為在AB軌道上摩擦力始終對物體做負功，所以物體最終在圓心角為2θ的圓弧上往復運動．
對整個過程，由動能定理得：mgR•cosθ-μmgcosθ•s=0，
解得總路程為：$s=\frac{R}{μ}=\frac{R}{0.5}=2R$；
（2）設物體剛好到D點，由牛頓第二定律得：mg=$m\frac{v_D^2}{R}$，
對全過程，由動能定理得：mgLsin θ-μmgcos θ•L-mgR（1+cos θ）=$\frac{1}{2}$m$v_D^2$-0，
解得：L≥$\frac{3+2cosθ}{2（sinθ-μcosθ）}$•R=4.2R；
（3）設物體離開圓軌時，所在半徑與水平方向夾角為β．由牛頓第二定律得：$mgsinβ=m\frac{{v_{\;}^2}}{R}$，
從B點到離開軌道的過程，由動能定理得：
$mg（dsinθ-Rcosθ-Rsinβ）-μmgdcosθ=\frac{1}{2}m{v^2}-0$
解得：sinβ=0.6，距圓心高為：h=Rsinβ=0.6R；
答：（1）物體做往返運動的整個過程中在AB軌道上通過的總路程s為2R；
（2）釋放點距B點的距離L應滿足什么條件是：L≥4.2R．
（3）若物體從距B點d=3R處靜止滑下，則物體離開圓軌時離圓心O點的高度是：0.6R．

點評 本題的關鍵要分析清楚物體的運動過程，判斷物體最終的運動狀態，把握圓周運動向心力來源，應動能定理、向心力知識結合解答．