Question

8．如圖所示，水平放置的兩條光滑平行金屬導軌ab，相距為d=1m，導軌之間垂直放置一質量為m=1kg，長度L=2m的均勻金屬棒MN，棒與導軌始終良好接觸．棒的電阻r=2Ω，導軌的電阻忽略不計．左端導軌之間接有一電阻為R=2Ω的燈泡，整個裝置放在磁感應強度B=2T的勻強磁場中，磁場方向垂直導軌平面向下．現垂直棒MN施加一水平向右的拉力F，使棒從靜止開始運動，試求：
（1）當金屬棒的速度為3m/s時，燈泡及棒兩端的電勢差U_MN分別是多少？
（2）若施加的水平恒力F=8N，則金屬棒達到的穩定速度為多少？
（3）若施加的水平外力功率恒為P=20W，經歷t=1s時間，棒的速度達到2m/s，則此過程中燈泡產生的熱量是多少？

Answer 1

分析 （1）金屬棒MN兩端的電勢差U_MN分為兩部分，連入閉合回路的一部分和未連入兩部分，所以電勢差U_MN等于電路的路端電壓和未連入電路兩端電壓值和；
（2）金屬棒在拉力作用下，做加速度逐漸減小的加速運動，當加速度為零時，速度達到最大，然后做勻速直線運動，根據金屬棒所受的拉力等于安培力，求出最大速度；
（3）根據動能定理可求得該過程金屬棒克服安培力做的功，根據功能關系即可求電路中產生的熱能，然后根據串聯電路中熱量分配關系即可求解．

解答 解：（1）由法拉第電磁感應定律有：E=Bdv                             
根據電路，則有：U_NM=U_燈+B（L-d）v                                
由歐姆定律得：U_燈=$\frac{E}{R+\frac{r}{2}}$ R=$\frac{2×1×3}{2+1}×2$=4V            
聯立解得：U_MN=-10V          
（2）穩定時金屬棒平衡，設速度為v，
由平衡得：F=BId  
由法拉第電磁感應定律有：E=Bdv                             
由閉合電路歐姆定律得：I=$\frac{E}{R+\frac{r}{2}}$
聯立解得：v=6m/s                                                    
（3）設金屬棒克服安培力做功為W，由動能定理得：Pt-W=$\frac{1}{2}$mv′²     
克服安培力做功轉化為總電能，設為Q，則有：Q=W            
故燈泡發熱為：Q₁=$\frac{R}{R+\frac{r}{2}}$Q                 
聯立得：Q₁=12J                 
答：（1）當金屬棒的速度為3m/s時，燈泡及棒兩端的電勢差U_MN分別是4V與-10V；
（2）若施加的水平恒力F=8N，則金屬棒達到的穩定速度為6m/s；
（3）若施加的水平外力功率恒為P=20W，經歷t=1s時間，棒的速度達到2m/s，則此過程中燈泡產生的熱量是12J．

點評 解決本題關鍵通過受力判斷出金屬棒的運動情況，知道當金屬棒加速度為零時，速度最大．以及會根據能量守恒定律或動能定理求出整個電路上產生的電熱能，注意MN電勢差是負值．