Question

18．火星（如圖所示）是太陽系中與地球最為類似的行星，人類對火星生命的研究在今年因“火星表面存在流動的液態水”的發現而取得了重要進展．若火星可視為均勻球體，火星表面的重力加速度為g火星半徑為R，火星自轉周期為T，萬有引力常量為G．求：
（1）火星的平均密度ρ．
（2）火星的同步衛星距火星表面的高度h．

Answer 1

分析 （1）根據萬有引力等于重力求出火星的質量，結合火星的體積求出火星的密度．
（2）根據萬有引力提供向心力求出火星同步衛星的軌道半徑，從而得出距離火星表面的高度．

解答 解：（1）在火星表面，對質量為m的物體有$mg=G\frac{Mm}{{R}^{2}}$   ①
又M=$ρV=ρ•\frac{4}{3}π{R}^{3}$   ②
聯立①②兩式解得ρ=$\frac{3g}{4GπR}$．
（2）同步衛星的周期等于火星的自轉周期T
萬有引力提供向心力，有$G\frac{Mm′}{（R+h）^{2}}=m′\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}（R+h）^{2}$   ③
聯立解得h=$\root{3}{\frac{g{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}-R$．
答：（1）火星的平均密度ρ為$\frac{3g}{4GπR}$．
（2）火星的同步衛星距火星表面的高度h為$\root{3}{\frac{g{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}-R$．

點評 解決本題的關鍵掌握萬有引力定律的兩個重要理論：1、萬有引力等于重力，2、萬有引力提供向心力，并能靈活運用．