Question

10．某電視臺正在策劃的“快樂向前沖”節目的場地設施如圖所示，AB為水平直軌道，上面安裝有電動懸掛器，可以載人運動，下方水面上漂浮著一個半徑為R鋪有海綿墊的轉盤，轉盤軸心離平臺的水平距離為L，平臺邊緣與轉盤平面的高度差H．選手抓住懸掛器后，按動開關，在電動機的帶動下從A點沿軌道做初速為零、加速度為a的勻加速直線運動．起動后2s懸掛器脫落．設人的質量為m（看作質點），人與轉盤間的最大靜摩擦力為μmg，重力加速度為g．且已知H=3.2m，R=0.9m．
（1）假設選手落到轉盤上瞬間相對轉盤速度立即變為零，為保證他落在任何位置都不會被甩下轉盤，轉盤的角速度ω應限制在什么范圍？
（2）當a=2m/s²時選手恰好落到轉盤的圓心上，求L=？取g=10m/s²，
（3）選手要想成功落在轉盤上，可以選擇的加速度范圍？取g=10m/s²．

Answer 1

分析 （1）人落在圓盤邊緣處不至被甩下，恰好由最大靜摩擦力提供向心力，結合牛頓第二定律求出轉盤角速度的范圍．
（2）抓住平拋運動的水平位移和勻加速直線運動的位移等于L，結合位移公式和速度公式求出L．
（3）人的加速度a最小時落在轉盤左端，a最大時落在轉盤右端，根據位移時間公式列式求解．

解答 解：（1）設人落在圓盤邊緣處不至被甩下，臨界情況下，最大靜摩擦力提供向心力．
則有：μmg=mω²R           
解得：ω=$\sqrt{\frac{μg}{R}}$
（2）勻加速過程有：x₁=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$=$\frac{1}{2}×2×{2}^{2}$m=4 m    
到達C點的速度為：v_c=at=2×2=4 m/s        
平拋過程有：H=$\frac{1}{2}g{t}_{2}^{2}$ 
代入數據得：t₂=0.8 s  
水平位移為：x₂=v_ct₂=4×0.8 m=3.2 m         
 故 L=x₁+x₂=7.2 m          
（3）分析知a最小時落在轉盤左端，a最大時落在轉盤右端．
據 L-R=$\frac{1}{2}{{a}_{1}t}_{1}^{2}$+（a₁t₁•t₂）
代入數據得：7.2-0.9=$\frac{1}{2}{a}_{1}×{2}^{2}$+2a₁×0.8
代入數據解得：a₁=1.75 m/s²       
據 L+R=$\frac{1}{2}{{a}_{1}t}_{1}^{2}$+（a₁t₁•t₂）
代入數據得：7.2+0.9=$\frac{1}{2}{a}_{1}×{2}^{2}$+2a₁×0.8
解得：a₂=2.25 m/s²       
所以加速度范圍為：1.75 m/s²≤a≤2.25 m/s²．
答：（1）為保證他落在任何位置都不會被甩下轉盤，轉盤的角速度ω應限制在$\sqrt{\frac{μg}{R}}$．
（2）L是7.2 m；
（3）選手要想成功落在轉盤上，可以選擇的加速度范圍是1.75 m/s²≤a≤2.25 m/s²．

點評 解決本題的關鍵理清選手的運動過程，并抓住各個過程之間的聯系，如速度關系和位移關系，結合牛頓第二定律、平拋運動的分位移公式、運動學公式靈活求解．