Question

7．牛頓思考月球繞地球運行的原因時，蘋果偶然落地引起了他的遐想：拉住月球使它圍繞地球運動的力與拉著蘋果下落的力，是否都與太陽吸引行星的力性質相同，遵循著統一的規律--平方反比規律？因此，牛頓開始了著名的“月-地檢驗”．
（1）已知月球與地球的距離約為地球半徑的60倍，如果牛頓的猜想正確，請你據此計算月球公轉的向心加速度a和蘋果下落的加速度g的比值$\frac{a}{g}$；
（2）在牛頓的時代，月球與地球的距離r、月球繞地球公轉的周期T等都能比較精確地測定，請你據此寫出計算月球公轉的向心加速度a的表達式；已知r≈3.84×10⁸ m，T≈2.36×10⁶s，地面附近的重力加速度g=9.80m/s²，請你根據這些數據估算比值$\frac{a}{g}$；與（1）中的結果相比較，你能得出什么結論？
（3）物理學不斷詮釋著自然界的大統與簡約．換一個角度再來看，蘋果下落過程中重力做功，重力勢能減少．試列舉另外兩種不同類型的勢能，并說出這些勢能統一具有的特點（至少說出兩點）．

Answer 1

分析 （1）根據萬有引力和牛頓第二定律$G\frac{M{m}_{月}}{{{r}_{月}}^{2}}={m}_{月}a$，在地球表面的物體的重力等于萬有引力$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mg$，兩式相比，代入數據即可解出a的值．
（2）由月亮與地球之間的距離和月亮的周期，根據a=$\frac{4{π}^{2}r}{{T}^{2}}$即可求出月球的向心加速度，然后比較即可；
（3）根據功能關系，結合能量的轉化與守恒分析常見的勢能轉化的例子．

解答 解：（1）根據萬有引力和牛頓第二定律有：
$G\frac{M{m}_{月}}{{{r}_{月}}^{2}}={m}_{月}a$…①
在地球表面的物體的重力等于萬有引力，則
$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mg$…②
由以上二式可解得：$\frac{a}{g}=\frac{{R}^{2}}{{{r}_{月}}^{2}}$…③
代入數據，$\frac{a}{g}=（\frac{1}{60}）^{2}$=$\frac{1}{3600}$
（2）由向心加速度的表達式得：a=$\frac{{v}^{2}}{r}$…④
其中：$v=\frac{2πr}{T}$…⑤
聯立④⑤可得：a=$\frac{4{π}^{2}r}{{T}^{2}}$
代入相關數據可得：$\frac{a}{g}≈\frac{1}{3604}$
比較（1）中的結果，二者近似相等，由此可以得出結論：牛頓的猜想是正確的，即地球對月球的引力，地面上物體的重力，都與太陽吸引行星的力性質相同，遵循著統一的規律--平方反比規律． 
（3）彈性勢能、電勢能等；這些勢能都不是物體單獨所有，而是相互作用的系統所共有；這些勢能的大小都與相互作用的物體間的相對位置有關；這些勢能的變化量均由對應的力所做的功來量度等．
答：（1）計算月球公轉的向心加速度a和蘋果下落的加速度g的比值$\frac{a}{g}$為$\frac{1}{3600}$；
（2）比較（1）中的結果，二者近似相等，由此可以得出結論：牛頓的猜想是正確的，即地球對月球的引力，地面上物體的重力，都與太陽吸引行星的力性質相同，遵循著統一的規律--平方反比規律． 
（3）彈性勢能、電勢能等；這些勢能都不是物體單獨所有，而是相互作用的系統所共有；這些勢能的大小都與相互作用的物體間的相對位置有關；這些勢能的變化量均由對應的力所做的功來量度等．

點評 對萬有引力與天體的運動問題，一定要知道兩個關系：①星球表面的物體受到的重力等于萬有引力，②做勻速圓周運動的物體需要的向心力由萬有引力提供．