Question

4．一列簡諧橫波在均勻介質中沿x軸正方向傳播，波長不小于30cm．O和A是介質中平衡位置分別位于x=0和x=10cm處的兩個質點．t=0時開始觀測，此時質點O的位移為y=5cm，質點A處于波峰位置；t=$\frac{2}{3}$s時，質點O第一次回到平衡位置，t=1$\frac{1}{3}$ s時，質點A第一次回到平衡位置．求：
（1）簡諧波的周期、波速和波長；
（2）質點O的位移隨時間變化的關系式．

Answer 1

分析 （1）利用A點在t=0s時和t=1$\frac{1}{3}$ s時所處的位置可求得簡諧波的周期，利用波速的公式v=$\frac{x}{t}$可求得波速，利用波速波長及周期之間的關系式λ=vT可求得波長；
（2）先根據題意求出簡諧波的圓頻率，設出簡諧振動的通式，利用0s時和1s時的O點的位移，可得知初相位，即為可知質點O的位移隨時間變化的關系式．

解答 解：（1）設振動周期為T，由于質點A在0到1$\frac{1}{3}$ s內由最大位移處第一次回到平衡位置，經歷的是$\frac{1}{4}$個周期，即$\frac{1}{4}$T=$\frac{4}{3}$s，由此可知 T=$\frac{16}{3}$s…①
由于質點O與A的距離10c m小于半個波長，且波沿x軸正向傳播，O在$\frac{2}{3}$s時回到平衡位置，而A在1$\frac{1}{3}$ s時回到平衡位置，時間相差$\frac{2}{3}$s．傳播距離為 x=10cm=0.1m
可得波的速度 v=$\frac{x}{t}$=$\frac{0.1}{\frac{2}{3}}$=0.15 m/s…②
利用波長、波速和周期的關系得，簡諧波的波長  λ=vT=0.15×$\frac{16}{3}$s=0.8m…③
（2）設質點O的位移隨時間變化的關系為  y=Asin（$\frac{2π}{T}$t+φ₀）…④
將①式及題給條件代入上式得：
   $\left\{\begin{array}{l}{5=Asin{φ}_{0}}\\{0=Asin（\frac{2π}{4}+{φ}_{0}）}\end{array}\right.$…⑤
解得 φ₀=$\frac{3}{4}$π，A=5$\sqrt{2}$cm…⑥
所以質點O的位移隨時間變化的關系式為：y=5$\sqrt{2}$sin（$\frac{3π}{8}$t+$\frac{3}{4}π$）cm或y=5$\sqrt{2}$cos（$\frac{3π}{8}$t+$\frac{1}{4}$π）cm
答：（1）簡諧波的周期是$\frac{16}{3}$s、波速是0.15m/s，波長是0.8m；
（2）質點O的位移隨時間變化的關系式是y=5$\sqrt{2}$sin（$\frac{3π}{8}$t+$\frac{3}{4}π$）cm或y=5$\sqrt{2}$cos（$\frac{3π}{8}$t+$\frac{1}{4}$π）cm．

點評 該題首先要求學生能準確的從題干中提取出相關的信息，熟練的利用波速、波長、周期之間的關系式及周期的定義進行相關問題的解答．對于第二問的解答有一定的難度，要注意利用數學知識求解初相位，同時要注意會分別用正弦和余弦來表述振動的關系式．