Question

18．如圖所示，空氣中在一折射率為$\sqrt{2}$的玻璃柱體，其橫截面是圓心角為90°、半徑為R的扇形OAB，一束平行光平行于橫截面，以45°入射角照射到OA上，OB不透光，若只考慮首次入射到圓弧AB上的光，則圓弧AB上有光透出部分的弧長為（　�。�

• A． $\frac{1}{4}$πR
• B． $\frac{1}{6}$πR
• C． $\frac{1}{3}$πR
• D． $\frac{5}{12}$πR

Answer 1

分析 作出兩條特殊光線，一是從O點沿半徑方向進入玻璃柱體的光線，在AO面上折射后傳播入方向不變，二是在AB面上發生全反射的光線，有光透出的部分在這兩條光線之間，然后根據幾何關系求解．

解答 解：光線在AO面折射時，根據折射定律有：$\frac{sin45°}{sinr}$=n=$\sqrt{2}$，得：sinr=0.5，可得折射角為：r=30°．
過O的光線垂直入射到AB界面上點C射出，C到B之間沒有光線射出；越接近A的光線入射到AB界面上時的入射角越大，發生全反射的可能性越大．
根據臨界角公式：sinC=$\frac{1}{n}$，得臨界角為：C=45°
如果AB界面上的臨界點為D，此光線在AO界面上點E入射，在三角形ODE中可求得OD與水平方向的夾角為180°-（120°+45°）=15°，所以A到D之間沒有光線射出．由此可得沒有光線射出的圓弧對應圓心角為 90°-（30°+15°）=45°
所以有光透出的部分的弧長為$\frac{1}{4}$πR．
故選：A

點評 解決本題的關鍵根據光的折射、全反射原理在AB弧面上找到有光線透出的范圍，然后依據幾何關系研究．