Question

19．如圖所示，一傾角為θ=30°的光滑足夠長斜面固定在水平面上，其頂端固定一勁度系數為k=50N/m的輕質彈簧，彈簧的下端系一個質量為m=1kg的小球，用一垂直于斜面的擋板A擋住小球，此時彈簧沒有發生形變，若擋板A以加速度a=4m/s²沿斜面向下勻加速運動，彈簧與斜面始終保持平行，g取10m/s²．求：
（1）從開始運動到小球速度達最大時小球所發生位移的大小；
（2）從開始運動到小球與擋板分離時所經歷的時間．

Answer 1

分析 （1）對球受力分析可知，當球受力平衡時，速度最大，此時彈簧的彈力與物體重力沿斜面的分力相等，由胡克定律和平衡條件即可求位移的大小．
（2）從開始運動到小球與擋板分離的過程中，擋板A始終以加速度a勻加速運動，小球與擋板剛分離時，相互間的彈力為零，由牛頓第二定律和胡克定律結合求得小球的位移，由擋板運動的位移可以求得物體運動的時間．

解答 解：（1）球和擋板分離后做加速度減小的加速運動，當加速度為零時，速度最大，此時物體所受合力為零．即 kx_m=mgsinθ，
解得：x_m=$\frac{mgsinθ}{k}$=$\frac{1×10×0.5}{50}$m=0.1m．
（2）設球與擋板分離時位移為s，經歷的時間為t，
從開始運動到分離的過程中，m受豎直向下的重力，垂直斜面向上的支持力F_N，沿斜面向上的擋板支持力F₁和彈簧彈力F．
根據牛頓第二定律有：mgsinθ-F-F₁=ma，
F=kx．
隨著x的增大，F增大，F₁減小，保持a不變，
當m與擋板分離時，F₁減小到零，則有：
mgsinθ-kx=ma，
又 x=$\frac{1}{2}$at²
聯立解得：mgsinθ-k•$\frac{1}{2}$at²=ma，
所以經歷的時間為：
t=$\sqrt{\frac{2m（gsinθ-a）}{ka}}$=$\sqrt{\frac{2×1×（10×0.5-4）}{50×4}}$s=0.1s．
答：（1）從開始運動到小球速度達最大時小球所發生位移的大小是0.1m；
（2）從開始運動到小球與擋板分離時所經歷的時間是0.1s．

點評 本題分析清楚物體運動過程，抓住物體與擋板分離時的條件：小球與擋板間的彈力為零是解題的前提與關鍵，應用牛頓第二定律與運動學公式可以解題．