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【題目】若實數x，y滿足x2－4xy＋4y2＋4x2y2＝4，則當x＋2y取得最大值時，的值為________．

【題目】已知，給定個整點,其中.

（Ⅰ）當時,從上面的個整點中任取兩個不同的整點，求的所有可能值；

（Ⅱ）從上面個整點中任取個不同的整點，.

（i）證明：存在互不相同的四個整點，滿足,；

（ii）證明：存在互不相同的四個整點，滿足,.

【題目】已知函數.

（Ⅰ）當時，求曲線在點處的切線方程；

（Ⅱ）討論函數的單調性；

（Ⅲ）對于任意，，都有，求實數的取值范圍.

【題目】已知橢圓的離心率為，以原點為圓心，橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線相切.

（Ⅰ）求橢圓方程；

（Ⅱ）設為橢圓右頂點，過橢圓的右焦點的直線與橢圓交于，兩點（異于），直線，分別交直線于，兩點. 求證：，兩點的縱坐標之積為定值.

現調查了北京市5個小區12月份的生活垃圾投放情況，其中可回收物中廢紙和塑料品的投放量如下表：

（Ⅰ）從這5個小區中任取1個小區，求該小區12月份的可回收物中，廢紙投放量超過5噸且塑料品投放量超過3.5噸的概率；

（Ⅱ）從這5個小區中任取2個小區，記為12月份投放的廢紙可再造好紙超過4噸的小區個數，求的分布列及期望．

【題目】如圖，在三棱柱中，平面，，，的中點為.

（Ⅰ）求證：；

（Ⅱ）求二面角的余弦值；

（Ⅲ）在棱上是否存在點，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．

【題目】在邊長為的等邊三角形中，點分別是邊上的點，滿足且，將沿直線折到的位置. 在翻折過程中，下列結論成立的是（ ）

A.在邊上存在點，使得在翻折過程中，滿足平面

B.存在，使得在翻折過程中的某個位置，滿足平面平面

C.若，當二面角為直二面角時，

D.在翻折過程中，四棱錐體積的最大值記為，的最大值為

【題目】對于在某個區間上有意義的函數，如果存在一次函數使得對于任意的，有恒成立，則稱函數是函數的一個弱漸近函數.

（1）若函數是函數在區間上的一個弱漸近函數，求實數的取值范圍；

（2）證明：函數是函數在區間上的弱漸近函數；

（3）試問：函數與函數（其中為自然對數的底數）在區間上是否存在相同的弱漸近函數？如果存在，請求出對應的弱漸近函數應滿足的條件；如不存在，請說明理由.

【題目】設數列滿足，，.

（1）求證：數列為等比數列；

（2）對于大于的正整數、（其中），若、、三個數經適當排序后能構成等差數列，求符合條件的數組；

（3）若數列滿足，是否存在實數，使得數列是單調遞增數列？若存在，求出的取值范圍；若不存在，說明理由.

【題目】某景區欲建造同一水平面上的兩條圓形景觀步道、（寬度忽略不計），已知，（單位：米），要求圓與、分別相切于點、，與、分別相切于點、，且.

（1）若，求圓、圓的半徑（結果精確到米）；

（2）若景觀步道、的造價分別為每米千元、千元，如何設計圓、圓的大小，使總造價最低？最低總造價為多少（結果精確到千元）？