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【題目】已知橢圓的離心率為,以原點為圓心,橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線相切.

(Ⅰ)求橢圓方程;

(Ⅱ)設為橢圓右頂點,過橢圓的右焦點的直線與橢圓交于兩點(異于),直線分別交直線兩點. 求證:兩點的縱坐標之積為定值.

【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)詳見解析.

【解析】

(Ⅰ)求出后可得橢圓方程.

(Ⅱ)當直線的斜率不存在,計算可得兩點的縱坐標之積為.當直線的斜率存在時,可設直線的方程為,則,聯立直線方程和橢圓方程,消去后利用韋達定理化簡后可得定值.

解:(Ⅰ)因為以原點為圓心,橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線相切,

所以半徑等于原點到直線的距離,即.

由離心率,可知,且,得.

故橢圓的方程為.

(Ⅱ)由橢圓的方程可知.

若直線的斜率不存在,則直線方程為

所以.

則直線的方程為,直線的方程為.

,得.

所以兩點的縱坐標之積為.

若直線的斜率存在,設直線的方程為,

依題意恒成立.

.

由題意三點共線可知

所以點的縱坐標為.同理得點的縱坐標為.

所以

綜上,兩點的縱坐標之積為定值.

練習冊系列答案
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附:

,則

.

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