Question

【題目】若實數x，y滿足x2－4xy＋4y2＋4x2y2＝4，則當x＋2y取得最大值時，的值為________．

Answer 1

【答案】2

【解析】

(解法1)因為實數x，y滿足x2－4xy＋4y2＋4x2y2＝4，所以(x＋2y)2＋4x2y2－8xy＝4，即(x＋2y)2＋4(xy－1)2＝8，所以(x＋2y)2＝8－4(xy－1)2，所以當(xy－1)2＝0時，即xy＝1時，x＋2y取得最大值，此時x＝，y＝，所以＝2.(解法2)因為實數x，y滿足x2－4xy＋4y2＋4x2y2＝4，所以(x－2y)2＋4x2y2＝4，令x－2y＝2cosθ，xy＝sinθ，則(x＋2y)2＝(x－2y)2＋8xy＝4cos2θ＋8sinθ，所以(x＋2y)2＝－4sin2θ＋8sinθ＋4，所以當sinθ＝1時，(x＋2y)2取得最大值，此時xy＝1，x－2y＝0，所以＝2.