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【題目】已知數列的前項和為，其中為常數．

（1）證明： ；

（2）是否存在，使得為等差數列？并說明理由．

【題目】已知數列的各項均為正數，其前n項的積為，記，.

（1）若數列為等比數列，數列為等差數列，求數列的公比.

（2）若，，且

①求數列的通項公式.

②記，那么數列中是否存在兩項，（s，t均為正偶數，且），使得數列，，，成等差數列？若存在，求s，t的值；若不存在，請說明理由.

【題目】已知函數，其中e為自然對數的底數．

（1）若函數的圖象在點處的切線方程為，求實數a的值；

（2）若函數有2個不同的零點，．

①求實數a的取值范圍；

②求證：．

【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知為橢圓的上頂點，P為橢圓E上異于上、下頂點的一個動點．當點P的橫坐標為時，．

（1）求橢圓E的標準方程；

（2）設M為x軸的正半軸上的一個動點．

①若點P在第一象限內，且以AP為直徑的圓恰好與x軸相切于點M，求AP的長．

②若，是否存在點N，滿足，且AN的中點恰好在橢圓E上？若存在，求點N的坐標；若不存在，請說明理由．

【題目】圖1是某高架橋箱梁的橫截面，它由上部路面和下部支撐箱兩部分組成．如圖2，路面寬度，下部支撐箱CDEF為等腰梯形（），且．為了保證承重能力與穩定性，需下部支撐箱的面積為，高度為2m且，若路面AB．側邊CF和DE，底部EF的造價分別為4a千元/m，5a千元/m，6a千元/m（a為正常數），．

（1）試用θ表示箱梁的總造價y（千元）；

（2）試確定cosθ的值，使總造價最低?并求最低總造價．

（1）寫出本年度預計的年利潤y與投入成本增加的比例x的關系式；

（2）為使本年度的年利潤比上年有所增加，問投入成本增加的比例x應在什么范圍內？

【題目】為了預防流感，某學校對教室用藥熏消毒法進行消毒，已知藥物釋放過程中，室內每立方米空氣中的含藥量與時間成正比，藥物釋放完畢后，與的函數關系式為（為常數）.如圖所示，根據圖中提供的信息，回答下列問題：

（1）從藥物釋放開始，每立方米空氣中的含藥量與時間之間的函數關系式為________；

（2）據測定，當空氣中每立方米的含藥量降低到以下時，學生方可進教室，那么從藥物釋放開始，至少需要經過多少時間學生才能回到教室？

【題目】某商場在促銷期間規定：商場內所有商品按標價的出售，當顧客在商場內消費一定金額后，按如下方案獲得相應金額的獎券：

根據上述促銷方法，顧客在該商場購物可以獲得雙重優惠，例如：購買標價為400元的商品，則消費金額為320元，獲得的優惠額為：元，設購買商品得到的優惠率＝（購買商品獲得的優惠額）/（商品標價），試問：

（1）若購買一件標價為1000元的商品，顧客得到的優惠率是多少？

（2）對于標價在（元）內的商品，顧客購買標價為多少元的商品，可得到不小于的優惠率？

【題目】在直角坐標系中，曲線C的參數方程為（為參數），以原點O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，直線的極坐標方程為，且直線與曲線C有兩個不同的交點.

（1）求實數a的取值范圍；

（2）已知M為曲線C上一點，且曲線C在點M處的切線與直線垂直，求點M的直角坐標.

（1）當a時，求f（x）的單調區間及極值；

（2）若a為整數，且不等式f（x）≥x對任意x∈（0，+∞）恒成立，求a的最小值．