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【題目】已知函數,其中e為自然對數的底數.

1)若函數的圖象在點處的切線方程為,求實數a的值;

2)若函數2個不同的零點

①求實數a的取值范圍;

②求證:

【答案】10;(2)①;②詳見解析.

【解析】

1)根據切線方程可知,即可求解;

2)①求函數導數,分類討論,顯然時,恒成立,不符合題意,時,由導數可求函數最小值,函數有零點則最小值需小于0,得,易知上有1個零點,利用導數證明函數在上有1個零點即可求的取值范圍;

②利用導數構造函數先證明當時,,結合①可得,取對數即可得出結論.

1)因為

所以切線的斜率為,解得

所以實數的值為0

2)①由題意知函數的定義域為

時,恒成立,

所以上為增函數,

至多有1個零點,不合題意.

時,令,則

,則

所以上為增函數;

,則

所以上為減函數.

的最小值為

依題意知,解得

一方面,,所以上有1個零點.

另一方面,先證明

,則

時,,故上為增函數;

時,.故上為減函數.

所以的最大值為,故

因為,所以

,則

時,.故上為增函數,

所以

因此上有1個零點,

綜上,實數的取值范圍是

②先證明當時,

.(*

不妨設

*)式等價

等價于

中,令,即證

所以上為增函數,故

所以成立,

所以成立.

中,令,即證

,則

所以上為減函數,故

所以成立,

所以成立.

綜上,(*)式成立.

由①得2個零點

,所以

兩邊取“”得

所以

利用得:

所以

又因為

所以

因此

練習冊系列答案
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30

60

100

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