【題目】已知函數,其中e為自然對數的底數.
(1)若函數的圖象在點
處的切線方程為
,求實數a的值;
(2)若函數有2個不同的零點
,
.
①求實數a的取值范圍;
②求證:.
【答案】(1)0;(2)①;②詳見解析.
【解析】
(1)根據切線方程可知,即可求解;
(2)①求函數導數,分類討論,顯然時,
恒成立,不符合題意,
時,由導數可求函數最小值,函數有零點則最小值需小于0,得
,易知
在
上有1個零點,利用導數證明函數在
上有1個零點即可求
的取值范圍;
②利用導數構造函數先證明當,
,
時,
,結合①可得
,取對數即可得出結論.
(1)因為,
所以切線的斜率為,解得
,
所以實數的值為0.
(2)①由題意知函數的定義域為
且
.
當時,
恒成立,
所以在
上為增函數,
故至多有1個零點,不合題意.
當時,令
,則
.
若,則
,
所以在
上為增函數;
若,則
,
所以在
上為減函數.
故的最小值為
.
依題意知,解得
.
一方面,,所以
在
上有1個零點.
另一方面,先證明.
令,則
當時,
,故
在
上為增函數;
當時,
.故
在
上為減函數.
所以的最大值為
,故
.
因為,所以
.
而.
令,
,則
當時,
.故
在
上為增函數,
所以
故
因此在
上有1個零點,
綜上,實數的取值范圍是
.
②先證明當,
,
時,
.(*)
不妨設,
(*)式等價,
等價于
在中,令
,即證
.
令
則,
所以在
上為增函數,故
,
所以成立,
所以成立.
在中,令
,即證
.
令,則
,
所以在
上為減函數,故
,
所以成立,
所以成立.
綜上,(*)式成立.
由①得有2個零點
,
,
則,所以
,
兩邊取“”得
,
所以.
利用得:
,
所以且
.
又因為
所以,
故.
因此.
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【題目】設圓C滿足:①截y軸所得弦長為2;②被x軸分成兩段圓弧,其弧長的比為3:1,在滿足條件①、②的所有圓中,求圓心到直線l:x-2y=0的距離最小的圓的方程.
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【題目】某商場在促銷期間規定:商場內所有商品按標價的出售,當顧客在商場內消費一定金額后,按如下方案獲得相應金額的獎券:
消費金額(元)的范圍 | … | ||||
獲得獎券的金額(元) | 30 | 60 | 100 | 130 | … |
根據上述促銷方法,顧客在該商場購物可以獲得雙重優惠,例如:購買標價為400元的商品,則消費金額為320元,獲得的優惠額為:元,設購買商品得到的優惠率=(購買商品獲得的優惠額)/(商品標價),試問:
(1)若購買一件標價為1000元的商品,顧客得到的優惠率是多少?
(2)對于標價在(元)內的商品,顧客購買標價為多少元的商品,可得到不小于
的優惠率?
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【題目】如圖,一個直徑為1的小圓沿著直徑為2的大圓內壁的逆時針方向滾動,M和N是小圓的一條固定直徑的兩個端點,那么,當小圓這樣滾過大圓內壁的一周,點M,N在大圓內所繪出的圖形大致是( )
A.B.
C.
D.
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【題目】設a>0,0≤x<2π,若函數y=cos2x-asinx+b的最大值為0,最小值為-4,試求a與b的值,并求使y取得最大值和最小值時的x值.
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【題目】某醫院體檢中心為回饋大眾,推出優惠活動:對首次參加體檢的人員,按200元/次收費,并注冊成為會員,對會員的后續體檢給予相應優惠,標準如下:
該休檢中心從所有會員中隨機選取了100位對他們在本中心參加體檢的次數進行統計,得到數據如表:
假設該體檢中心為顧客體檢一次的成本費用為150元,根據所給數據,解答下列問題:
(1)已知某顧客在此體檢中心參加了3次體檢,求這3次體檢,該體檢中心的平均利潤;
(2)該體檢中心要從這100人里至少體檢3次的會員中,按體檢次數用分層抽樣的方法抽出5人,再從這5人中抽取2人,每人發放現金200元.用5表示體檢3次的會員所得現金和,求的分布列及
.
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