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設函數 
（Ⅰ）證明對每一個，存在唯一的，滿足；
（Ⅱ）由（Ⅰ）中的構成數列，判斷數列的單調性并證明；
（Ⅲ）對任意，滿足（Ⅰ），試比較與的大小.

已知函數同時滿足：①不等式 的解集有且只有一個元素；②在定義域內存在，使得不等式成立 設數列的前項和為
（1）求數列的通項公式；
（2）設各項均不為零的數列中，所有滿足的正整數的個數稱為這個數列的變號數，令（為正整數），求數列的變號數

等差數列{a_m}的前m項和為S_m，已知S₃=，且S₁，S₂，S₄成等比數列，
（1）求數列{a_m}的通項公式.
（2）若{a_m}又是等比數列，令b_m= ，求數列{b_m}的前m項和T_m.

對于任意的（不超過數列的項數），若數列的前項和等于該數列的前項之積，則稱該數列為型數列。
（1）若數列是首項的型數列，求的值；
（2）證明：任何項數不小于3的遞增的正整數列都不是型數列；
（3）若數列是型數列，且試求與的遞推關系，并證明對恒成立。

已知等比數列 的所有項均為正數，首項且成等差數列.
（1）求數列的通項公式；
（2）數列的前項和為若求實數的值.

設數列滿足， 
(Ⅰ)求數列的通項公式；
(Ⅱ)令，求數列的前項和．

已知正項數列的前項和為，是與的等比中項.
（1）求證：數列是等差數列；
（2）若，且，求數列的通項公式；
（3）在（2）的條件下，若，求數列的前項和.

已知等差數列的前項和為，且.
（Ⅰ）求數列的通項公式；
（Ⅱ）若數列滿足，求數列的前項和.

已知數列的前項和為，若，
⑴證明數列為等差數列，并求其通項公式；
⑵令，①當為何正整數值時，：②若對一切正整數，總有，求的取值范圍.

等比數列的前n項和，已知對任意的,點均在函數的圖像上.
（1）求r的值.
(2)當b=2時，記，求數列的前n項和.