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已知函數f（x）=alnx+（a≠0）在（0，）內有極值．
（I）求實數a的取值范圍；
（II）若x₁∈（0，），x₂∈（2，+∞）且a∈[，2]時，求證：f（x₁）﹣f（x₂）≥ln2+．

設，函數.
（1）若，求曲線在點處的切線方程；
（2）求函數的單調區間；
（3）當時，求函數在上的最小值.

設，函數.
（1）若，求曲線在點處的切線方程；
（2）若無零點，求實數的取值范圍；
（3）若有兩個相異零點、，求證：.

已知函數，，
(Ⅰ)若，求函數的極值；
(Ⅱ)若函數在上單調遞減，求實數的取值范圍；
（Ⅲ）在函數的圖象上是否存在不同的兩點，使線段的中點的橫坐標與直線的斜率之間滿足？若存在，求出；若不存在，請說明理由.

已知.
（Ⅰ）求函數在上的最小值；
（Ⅱ）對一切恒成立，求實數的取值范圍；
（Ⅲ）證明：對一切，都有成立.

已知函數在處取得極值．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）證明：當時，.

已知函數．
（Ⅰ）當時，求曲線在處的切線方程；
（Ⅱ）討論函數的單調性．

已知函數，；
(1)當時，求函數的單調區間；
(2)若函數在[1,2]上是減函數，求實數的取值范圍；
(3)令，是否存在實數，當 (是自然對數的底數)時，函數的最小值是.若存在，求出的值；若不存在，說明理由．

已知函數．
（I）求函數的單調區間；
（Ⅱ）若，試解答下列兩小題．
（i）若不等式對任意的恒成立，求實數的取值范圍；
（ii）若是兩個不相等的正數，且以，求證：．

若函數（為實常數）.
（1）當時，求函數在處的切線方程；
（2）設.
①求函數的單調區間；
②若函數的定義域為，求函數的最小值.