若函數
（
為實常數）.
（1）當
時，求函數
在
處的切線方程；
（2）設
.
①求函數
的單調區間；
②若函數
的定義域為
，求函數
的最小值
.
（1）
；（2）①單調增區間為
；單調減區間為
，②
解析試題分析：（1）當時，
，先求導，再求出函數在處的導數即所求切線的斜率，就可寫出直線的點斜式方程；（2）①分類討論去掉絕對值，將函數化為分段函數，在不同取值范圍內，分別求導判斷函數的單調性，②由函數的定義域去判斷的取值范圍，再結合①的結果，對函數進行分類討論，分別求出各種情況下的最小值，即得.
試題解析：（1）當時，，
，
， 2分
又當時，
，
函數在處的切線方程； 4分
（2）因為
，
①當
時，
恒成立，所以
時，函數為增函數； 7分
當
時，
，令
，得
，
令
，得
，
所以函數的單調增區間為；單調減區間為;10分
②當
時，
，因為
的定義域為,以
或
11分（ⅰ）當時，
，所以函數在上單調遞增，則的最大值為
，
所以在區間上的最小值為
； 13分
（ⅱ）當
時，
，且
，所以函數在
上單調遞增，在
上單調遞減，則的最大值為
，所以在區間上的最小值為
；14分
（ⅲ）當
時，
，所以函數在上單調遞增，則的最大值為
，所以在區間上的最小值為
.
綜上所述， 16分
考點：函數的應用、導數的應用.
名校課堂系列答案科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知中心在原點的雙曲線
的一個焦點是
，一條漸近線的方程是
.
（1）求雙曲線的方程；（2）若以
為斜率的直線
與雙曲線相交于兩個不同的點
，且線段
的垂直平分線與兩坐標軸圍成的三角形的面積為
，求
的取值范圍.
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（
為常數）的圖象過原點，且對任意
總有
成立；
的最大值等于1，求
與
的大小關系.
在點
處的切線與圓
相切，求
的值；
時，函數
軸的上方，試求出
，
的單調性；
.
.
在
上的最小值；
恒成立，求實數
的取值范圍；
，都有
成立.
.
，求
的單調區間；
時
，求
的取值范圍
.
時，
單調遞增，求
的取值范圍；
的實數根的個數.
.
時，求曲線
在點
處的切線方程；
，且
，求函數
的單調區間.