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如圖，長方體ABCD－A₁B₁C₁D₁中，底面A₁B₁C₁D₁是正方形，O是BD的中點，E是棱AA₁上任意一點．

(Ⅰ)證明：BD⊥EC₁；

(Ⅱ)如果AB＝2，AE＝，OE⊥EC₁，求AA₁的長．

若某產品的直徑長與標準值的差的絕對值不超過1 mm時，則視為合格品，否則視為不合格品．在近期一次產品抽樣檢查中，從某廠生產的此種產品中，隨機抽取5000件進行檢測，結果發現有50件不合格品．計算這50件不合格品的直徑長與標準值的差(單位：mm)，將所得數據分組，得到如下頻率分布表：

(Ⅰ)將上面表格中缺少的數據填在相應位置；

(Ⅱ)估計該廠生產的此種產品中，不合格品的直徑長與標準值的差落在區間(1，3]內的概率；

(Ⅲ)現對該廠這種產品的某個批次進行檢查，結果發現有20件不合格品．據此估算這批產品中的合格品的件數．

設定義在(0，＋∞)上的函數f(x)＝ax＋＋b(a＞0)

(Ⅰ)求f(x)的最小值；

(Ⅱ)若曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線方程為y＝x，求a，b的值．

設△ABC的內角A，B，C所對邊的長分別為a，b，c，且有2sinBcosA＝sinAcosC＋cosAsinC．

(Ⅰ)求角A的大小；

(Ⅱ)若b＝2，c＝1，D為BC的中點，求AD的長．

對于數集X＝{－1，x₁，x₂，…，x_n}，其中0＜x₁＜x₂＜…＜x_n，n≥2，定義向量集Y＝＝{|＝(s，t)，s∈X，t∈X}，若對任意∈Y，存在∈Y，使得·＝0，則稱X具有性質P．例如{－1，1，2}具有性質P．

(1)若x＞2，且{－1，1，2，x}具有性質P，求x的值；

(2)若X具有性質P，求證：1∈X，且當x_n＞1時，x₁＝1；

(3)若X具有性質P，且x₁＝1、x₂＝q(q為常數)，求有窮數列x₁，x₂，…，x_n的通項公式．

在平面直角坐標系xOy中，已知雙曲線C₁：2x²－y²＝1．

(1)過C₁的左頂點引C₁的一條漸進線的平行線，求該直線與另一條漸進線及x軸圍成的三角形的面積；

(2)設斜率為1的直線l交C₁于P、Q兩點，若l與圓x²＋y²＝1相切，求證：OP⊥OQ；

(3)設橢圓C₂：4x²＋y²＝1，若M、N分別是C₁、C₂上的動點，且OM⊥ON，求證：O到直線MN的距離是定值．

海事救援船對一艘失事船進行定位：以失事船的當前位置為原點，以正北方向為y軸正方向建立平面直角坐標系(以1海里為單位長度)，則救援船恰好在失事船正南方向12海里A處，如圖．現假設：①失事船的移動路徑可視為拋物線；②定位后救援船即刻沿直線勻速前往救援；③救援船出發t小時后，失事船所在位置的橫坐標為7t．

(1)當t＝0.5時，寫出失事船所在位置P的縱坐標．若此時兩船恰好會合，求

救援船速度的大小和方向；

(2)問救援船的時速至少是多少海里才能追上失事船？

已知函數f(x)＝lg(x＋1)．

(1)若0＜f(1－2x)－f(x)＜1，求x的取值范圍；

(2)若g(x)是以2為周期的偶函數，且當0≤x≤1時，有g(x)＝f(x)，求函數y＝g(x)(x∈[1，2])的反函數．

如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，E是PC的中點，已知AB＝2，，PA＝2，求：

(1)三角形PCD的面積；

(2)異面直線BC與AE所成的角的大小．

選修4－5：不等式選講

已知函數f(x)＝|x＋a|＋|x－2|．

(Ⅰ)當a＝－3時，求不等式f(x)≥3的解集；

(Ⅱ)若f(x)≤|x－4|的解集包含[1，2]，求a的取值范圍．