Question

（04年全國卷III理）（14分）

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n滿足：S_n=2a_n +(-1)ⁿ,n≥1.

 

⑴寫出數(shù)列{a_n}的前3項(xiàng)a₁,a₂,a₃；

⑵求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；

⑶證明：對任意的整數(shù)m>4，有.

Answer 1

解析：⑴當(dāng)n=1時(shí),有：S₁=a₁=2a₁+(-1) a₁=1；

當(dāng)n=2時(shí),有：S₂=a₁+a₂=2a₂+(-1)²a₂=0；

當(dāng)n=3時(shí),有：S₃=a₁+a₂+a₃=2a₃+(-1)³a₃=2；

綜上可知a₁=1,a₂=0,a₃=2；

⑵由已知得：

化簡得：

上式可化為：

故數(shù)列{}是以為首項(xiàng), 公比為2的等比數(shù)列.

故    ∴

數(shù)列{}的通項(xiàng)公式為：.

⑶由已知得：

.

故( m>4).