Question

（04年全國卷III理）（12分）

三棱錐P-ABC中，側面PAC與底面ABC垂直，PA=PB=PC=3.

(1)求證 AB⊥BC ；

(II)如果 AB=BC=2，求AC與側面PBC所成角的大小．

Answer 1

解析：⑴證明：取AC中點O, 連結PO、BO.

∵PA＝PC　∴PO⊥AC　

又∵側面PAC⊥底面ABC

∴PO⊥底面ABC

又PA＝PB＝PC　∴AO＝BO＝CO

∴△ABC為直角三角形　∴AB⊥BC

　

⑵解：取BC的中點為M，連結OM,PM，所以有OM=AB=，AO=

∴

由⑴有PO⊥平面ABC,OM⊥BC，由三垂線定理得PM⊥BC

∴平面POM⊥平面PBC，又∵PO=OM=.

∴△POM是等腰直角三角形，取PM的中點N，連結ON, NC

則ON⊥PM, 又∵平面POM⊥平面PBC, 且交線是PM, ∴ON⊥平面PBC

∴∠ONC即為AC與平面PBC所成的角.

∴  ∴.

故AC與平面PBC所成的角為.