Question

【題目】已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的兩個焦點分別為F1，F2，短軸的一個端點為P，△PF1F2內切圓的半徑為，設過點F2的直線l與被橢圓C截得的線段為RS，當l⊥x軸時，|RS|＝3.

(1) 求橢圓C的標準方程；

(2) 若點M(0，m)，（），過點M的任一直線與橢圓C相交于兩點A.B，y軸上是否存在點N（0，n）使∠ANM＝∠BNM恒成立？若存在，判斷m、n應滿足關系；若不存在，說明理由。

(3) 在（2）條件下m=1時，求△ABN面積的最大值。

Answer 1

【答案】（1）＋＝1；（2）答案不唯一，見解析；（3）.

【解析】

（1）由內切圓半徑表示三角形的面積，可得，再由，求得橢圓方程；

（2）分軸和不垂直于軸時兩種情況，當AB與x軸不垂直時，設直線AB的方程為y＝kx＋m，直線與橢圓方程聯立，，代入根與系數的關系，得到的關系；

（3）由（2）得n=3 M(0，1).N（0，3）設直線AB的方程為y＝kx＋1，也橢圓方程聯立，得到根與系數的關系，并表示面積，代入根與系數的關系，利用基本不等式求最值.

(1)由內切圓的性質，得×2c×b＝×(2a＋2c)×，得＝.

將x＝c代入＋＝1，得y＝±，所以＝3.

又a2＝b2＋c2，所以a＝2，b＝，故橢圓C的標準方程為＋＝1.

(2) ①當AB⊥x軸時，可知∠ANM＝∠BNM＝0.

②當AB與x軸不垂直時，設直線AB的方程為y＝kx＋m.

聯立方程消去y得，(3＋4k2)x2+8kmx+4m2-12＝0.（）

設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則，x1x2＝.

假設存在N（0，n）

則kAN＋kBN＝

＝

＝0.（*），對任意k∈R恒成立.

所以mn=3且m≠0.

m=0時由（*）式知不存在點N符合題意，

綜上：m=0時不存在， 時存在點N（0,n），mn=3。

（3）由（2）得n=3 M(0，1).N（0，3）設直線AB的方程為y＝kx＋1.

由

設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則，x1x2＝.

，令則t ≥1,

當且僅當 t=1，k=0時 取的最大值。

所以△ABN面積的最大值為