Question

已知集合A為函數(shù)f（x）=lg（1+x）-lg（1-x）的定義域，集合B={x|1-a²-2ax-x²≥0}．
（I）若A∩B={x|

1

2

≤x＜1}，求a的值；
（II）求證a≥2是A∩B=φ的充分不必要條件．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可以求出f（x）的定義域，得到集合A，利用十字相乘法，求出集合B，再根據(jù)A∩B={x|

1

2

≤x＜1}，求出a值；
（II）由（I）知：B=[-1-a，1-a]，已知a≥2，根基交集的定義可以判斷集合A與B的關(guān)系，利用特殊值法證明A∩B=∅推不出a≥2，從而進(jìn)行證明；

解答：解：（I）要使函數(shù)f（x）=lg（1+x）-lg（1-x）有意義，可得

1+x＞0 1-x＞0

即-1＜x＜1，∴A={x|-1＜x＜1}，
由1-a²-2ax-x²≥0得x²+2ax+a²-1≤0即（x+a-1）（x+a+1）≤0，
∴-1-a≤x≤1-a
從而B={x|-1-a≤x≤1-a}，
∵A∩B={x|

1

2

≤x＜1}，
∴

-1-a= 1 2 1-a≥1

，解得a=-

3

2

；
（II）由（I）知：B=[-1-a，1-a]
當(dāng)a≥2時(shí)，1-a≤-1，
由A=（-1，1），B=[-1-a，1-a]，有A∩B=∅，
反之，若A∩B=∅，可取-a-1=2，解得a=-3，a＜2，
所以a≥2是A∩B=∅的充分不必要條件；

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查集合間的參數(shù)關(guān)系，以及對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，注意理解集合空集的含義，第二問涉及充分不必要條件的定義，利用特殊值法進(jìn)行證明會(huì)比較簡(jiǎn)單；