Question

已知集合A為函數f（x）=lg（1+x）-lg（1-x）的定義域，集合B={x|1-a²-2ax-x²≥0}．
（I）若A∩B={x|

1

2

≤x＜1}，求a的值；
（II）求證a≥2是A∩B=φ的充分不必要條件．

Answer 1

（I）要使函數f（x）=lg（1+x）-lg（1-x）有意義，可得

1+x＞0 1-x＞0

即-1＜x＜1，∴A={x|-1＜x＜1}，
由1-a²-2ax-x²≥0得x²+2ax+a²-1≤0即（x+a-1）（x+a+1）≤0，
∴-1-a≤x≤1-a
從而B={x|-1-a≤x≤1-a}，
∵A∩B={x|

1

2

≤x＜1}，
∴

-1-a= 1 2 1-a≥1

，解得a=-

3

2

；
（II）由（I）知：B=[-1-a，1-a]
當a≥2時，1-a≤-1，
由A=（-1，1），B=[-1-a，1-a]，有A∩B=∅，
反之，若A∩B=∅，可取-a-1=2，解得a=-3，a＜2，
所以a≥2是A∩B=∅的充分不必要條件；