Question

已知集合A為函數f（x）=lg（-x²+2x）的定義域，集合B={x|x²-2kx+k²-1＞0}．
（Ⅰ）求集合A、B；
（Ⅱ）若A是B的真子集，求實數k的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由對數式的真數大于0求解一元二次不等式化簡集合A，因式分解法求解一元二次不等式化簡集合B；
（Ⅱ）根據子集概念，利用端點值間的關系分類列不等式求解k的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）由-x²+2x＞0，得0＜x＜2，∴A=（0，2），
由x²-2kx+k²-1＞0，即[x-（k+1）][x-（k-1）]＞0，得x＜k-1或x＞k+1，
∴B=（-∞，k-1）∪（k+1，+∞）．
（Ⅱ）若A是B的真子集，則
①k-1≥2，得k≥3；
②k+1≤0，得k≤-1．
綜上得，k∈（-∞，-1]∪[3，+∞）．

點評：本題考查了函數的定義域及其求法，考查了集合間的包含關系及其應用，體現了分類討論的數學思想方法，解答的關鍵是對端點值的取舍，是基礎題．