Question

已知集合A為函數f（x）=lg（1+x）-lg（1-x）的定義域，集合B={x|1-a²-2ax-x²≥0}．
（I）若A∩B={x|≤x＜1}，求a的值；
（II）求證a≥2是A∩B=φ的充分不必要條件．

Answer 1

解：（I）要使函數f（x）=lg（1+x）-lg（1-x）有意義，可得
即-1＜x＜1，∴A={x|-1＜x＜1}，
由1-a²-2ax-x²≥0得x²+2ax+a²-1≤0即（x+a-1）（x+a+1）≤0，
∴-1-a≤x≤1-a
從而B={x|-1-a≤x≤1-a}，
∵A∩B={x|≤x＜1}，
∴，解得a=-；
（II）由（I）知：B=[-1-a，1-a]
當a≥2時，1-a≤-1，
由A=（-1，1），B=[-1-a，1-a]，有A∩B=∅，
反之，若A∩B=∅，可取-a-1=2，解得a=-3，a＜2，
所以a≥2是A∩B=∅的充分不必要條件；
分析：（I）根據對數函數的性質可以求出f（x）的定義域，得到集合A，利用十字相乘法，求出集合B，再根據A∩B={x|≤x＜1}，求出a值；
（II）由（I）知：B=[-1-a，1-a]，已知a≥2，根基交集的定義可以判斷集合A與B的關系，利用特殊值法證明A∩B=∅推不出a≥2，從而進行證明；
點評：此題主要考查集合間的參數關系，以及對數函數的性質，注意理解集合空集的含義，第二問涉及充分不必要條件的定義，利用特殊值法進行證明會比較簡單；