Question

【題目】已知橢圓的離心率為，左、右焦點分別為、，過的直線交橢圓于兩點.

(1)若以為直徑的圓內切于圓，求橢圓的長軸長；

(2)當時，問在軸上是否存在定點，使得為定值？并說明理由.

Answer 1

【答案】(1) 橢圓長軸長為6 (2) 在軸存在定點，使得為定值

【解析】試題分析：（1）根據圖形的幾何特點得到，兩個圓相內切時，兩個圓的圓心距等于兩個圓的半徑，，進而得到參數值a=3;(2)聯立直線和橢圓得到二次方程，根據韋達定理得到，進而得到參數值.

解析：

(1)設的中點為，在三角形中，由中位線得：

.

當兩個圓相內切時，兩個圓的圓心距等于兩個圓的半徑，即，

所以，橢圓長軸長為6.

(2)由已知，，，所以橢圓方程為.

當直線斜率存在時，設直線方程為.

設，，

由，得，

∴恒成立.

∴，，

，

設，

，

當即時為定值

當直線斜率不存在時，不妨設，，

當時，為定值.

綜上：在軸存在定點，使得為定值.