Question

10．已知命題p：函數f（x）=|4x-a|-ax（a＞0）存在最小值；命題q：關于x的方程2x²-（2a-2）x+3a-7=0有實數根．則使“命題p∨?q為真，p∧?q為假”的一個必要不充分的條件是（　　）

• A． 3≤a＜5
• B． 0＜a＜4
• C． 4＜a＜5或0≤a≤3
• D． 3＜a＜5或0≤a＜3

Answer 1

分析 分別求出p，q為真時的a的范圍，求出則p假q真時的a的范圍，結合集合的包含關系判斷即可．

解答 解：由條件得：f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（4-a）x-a，x≥\frac{a}{4}}\\{-（4+a）x+a，x＜\frac{a}{4}}\end{array}\right.$，
∵a＞0，
∴-（4+a）＜0，f（x）在（-∞，$\frac{a}{4}$）上是減函數．
如果函數f（x）存在最小值，
則f（x）在[a，+∞）上是增函數或常數．
∴4-a≥0，得a≤4，
又a＞0，∴0＜a≤4，
故p為真時：0＜a≤4；
命題q：關于x的方程2x²-（2a-2）x+3a-7=0有實數根，
∴△=（2a-2）²-8（3a-7）≥0，化為：a²-8a+15≥0，
解得a≤3或a≥5；
命題p∨?q為真，p∧?q為假，則p假q真，
故$\left\{\begin{array}{l}{a＞4}\\{3＜a＜5}\end{array}\right.$，解得：4＜a＜5；
故4＜a＜5的一個必要不充分的條件是4＜a＜5或0≤a≤3，
故選：C．

點評 本題考查了充分必要條件，考查集合的包含關系以及二次函數的性質和函數的最值問題，是一道中檔題．