Question

19．函數y=$\frac{{x}^{2}+1}{x-1}$（x＞1）的最小值是2+2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 求出y=（x-1）+$\frac{2}{x-1}$+2，根據基本不等式的性質求出y的最小值即可．

解答 解：∵x＞1，
∴y=$\frac{{x}^{2}+1}{x-1}$
=$\frac{{（x-1）}^{2}+2（x-1）+2}{x-1}$
=（x-1）+$\frac{2}{x-1}$+2
≥2$\sqrt{（x-1）•\frac{2}{x-1}}$+2
=2+2$\sqrt{2}$，
當且僅當x-1=$\frac{2}{x-1}$即x=1+$\sqrt{2}$時“=”成立，
故答案為：2+2$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了基本不等式的性質，注意性質應用的條件，是一道基礎題．