Question

9．若函數f（x）=-x+b的圖象與函數g₁（x）=x²（0≤x≤1）的圖象相交于點A，與函數g₂（x）=$\sqrt{x}$（0≤x≤1）的圖象相交于點B，求|AB|的最大值．

Answer 1

分析 函數g₁（x）=x²（0≤x≤1）的圖象與函數g₂（x）=$\sqrt{x}$（0≤x≤1）的圖象關于直線y=x對稱，故當函數f（x）=-x+b的圖象過原點與（1，1）點的中點時，|AB|取最大值，進而得到答案．

解答 解：函數g₁（x）=x²（0≤x≤1）的圖象與函數g₂（x）=$\sqrt{x}$（0≤x≤1）的圖象關于直線y=x對稱，
故當函數f（x）=-x+b的圖象過原點與（1，1）點的中點時，|AB|取最大值，
此時b=1，
由$\left\{\begin{array}{l}y=-x+1\\ y={x}^{2}\end{array}\right.$得：A點坐標為：（$\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$，$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$），
由$\left\{\begin{array}{l}y=-x+1\\ y=\sqrt{x}\end{array}\right.$得：B點坐標為：（$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$，$\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$），
此時|AB|=$\sqrt{10}-2\sqrt{2}$，
故|AB|的最大值為$\sqrt{10}-2\sqrt{2}$．

點評 本題考查的知識點是函數的圖象，函數的最值及其幾何意義，難度中檔．