Question

18．若函數f（x）=lnx+$\frac{a}{x}$在區間[1，e]上的最小值為$\frac{3}{2}$，則實數a的值為$\sqrt{e}$．

Answer 1

分析 對原函數求導，然后分a＜1，1≤a≤e，e＜a，情況討論原函數在[1，e]上的單調性，并求得最小值，由最小值等于$\frac{3}{2}$求得a的值．

解答 解：由f（x）=lnx+$\frac{a}{x}$（x＞0），得f′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{a}{{x}^{2}}$=$\frac{x-a}{{x}^{2}}$，
f′（x）=0則x=a，若a＜1，則f（x）_min=f（1）=a=$\frac{3}{2}$，不滿足題意；
若a＞e，則f（x）_min=f（e）=1+$\frac{a}{e}$=$\frac{3}{2}$，則a=$\frac{e}{2}$＜e，不合題意；
若e≥a≥1，則f（x）_min=f（a）=lna+1=$\frac{3}{2}$，則a=$\sqrt{e}$＜e，滿足題意；
故答案為：$\sqrt{e}$．

點評 本題考查利用導數研究函數的單調性，考查了利用導數求函數的最值，著重考查分類討論的數學思想方法，是中高檔題．