Question

如圖，圓與軸相切于點，與軸正半軸相交于兩點（點在點的左側），且．

（Ⅰ）求圓的方程；
（Ⅱ）過點任作一條直線與橢圓相交于兩點，連接，求證：．

Answer 1

（Ⅰ）．（Ⅱ）略

(I)由于圓與軸相切于點, 所以圓心坐標為,然后根據
建立關于r的方程求出r值，圓的標準確定.
(2)將y=0代入圓的方程求出M,N的坐標，然后再分兩種情況證明.
(i) 當軸時，由橢圓對稱性可知.
當與軸不垂直時，可設直線的方程為．證明,然后直線方程與橢圓方程聯立借助韋達定理來解決即可
（Ⅰ）設圓的半徑為（），依題意，圓心坐標為．∵　∴　，解得． 3分∴　圓的方程為． 5分
（Ⅱ）把代入方程，解得，或，即點，．
（1）當軸時，由橢圓對稱性可知． 7分
（2）當與軸不垂直時，可設直線的方程為．
聯立方程，消去得，．········ 8分
設直線交橢圓于兩點，則，．
∵　，∴　
．
∵，
∴　，．綜上所述，．