Question

6．某廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品的年固定成本為250萬元，每生產(chǎn)x千件，需另投入成本C（x）（萬
元），若年產(chǎn)量不足80千件，C（x）的圖象是如圖的拋物線，此時C（x）＜0的解集為（-30，0），且C（x）的最小值是-75，若年產(chǎn)量不小于80千件，C（x）=51x+$\frac{10000}{x}$-1450，每千件商品售價為50萬元，通過市場分析，該廠生產(chǎn)的商品能全部售完；
（1）寫出年利潤L（x）（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量x（千件）的函數(shù)解析式；
（2）年產(chǎn)量為多少千件時，該廠在這一商品的生產(chǎn)中所獲利潤最大？

Answer 1

分析 （1）分兩種情況進行研究，當0＜x＜80時，當x≥80時，根據(jù)年利潤=銷售收入-成本，列出函數(shù)關(guān)系式，投入成本為，根據(jù)年利潤=銷售收入-成本，列出函數(shù)關(guān)系式，最后寫成分段函數(shù)的形式，從而得到答案；
（2）根據(jù)年利潤的解析式，分段研究函數(shù)的最值，當0＜x＜80時，利用二次函數(shù)求最值，當x≥80時，利用基本不等式求最值，最后比較兩個最值，即可得到答案

解答 解：（1）∵每件商品售價為0.005萬元，
∴x千件商品銷售額為0.005×1000x萬元，
①當0＜x＜80時，根據(jù)年利潤=銷售收入-成本，
∴L（x）=（0.05×1000x）-$\frac{1}{3}$x²-10x-250=-$\frac{1}{3}$x²+40x-250；
②當x≥80時，根據(jù)年利潤=銷售收入-成本，
∴L（x）=（0.05×1000x）-51x-$\frac{10000}{x}$+1450-250=1200-（x+$\frac{10000}{x}$）．
綜合①②可得，$L（x）=\left\{\begin{array}{l}-\frac{1}{3}{x^2}+40x-250{，_{\;}}_{\;}0＜x＜80\\ 1200-（x+\frac{10000}{x}）{，_{\;}}_{\;}x≥80\end{array}\right.$；
（2）由（1）可知，$L（x）=\left\{\begin{array}{l}-\frac{1}{3}{x^2}+40x-250{，_{\;}}_{\;}0＜x＜80\\ 1200-（x+\frac{10000}{x}）{，_{\;}}_{\;}x≥80\end{array}\right.$；
①當0＜x＜80時，L（x）=-$\frac{1}{3}$x²+40x-250=-$\frac{1}{3}$（x-60）²+950
∴當x=60時，L（x）取得最大值L（60）=950萬元；
②當x≥80時，L（x）=1200-（x+$\frac{10000}{x}$）≤1200-2$\sqrt{x•\frac{10000}{x}}$=1200-200=1000，
當且僅當，即x=100時，L（x）取得最大值L（100）=1000萬元．
綜合①②，由于950＜1000，
∴當產(chǎn)量為10萬件時，該廠在這一商品中所獲利潤最大，最大利潤為1000萬元．

點評 本題主要考查函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用．解決實際問題通常有四個步驟：（1）閱讀理解，認真審題；（2）引進數(shù)學(xué)符號，建立數(shù)學(xué)模型；（3）利用數(shù)學(xué)的方法，得到數(shù)學(xué)結(jié)果；（4）轉(zhuǎn)譯成具體問題作出解答，其中關(guān)鍵是建立數(shù)學(xué)模型．本題建立的數(shù)學(xué)模型為分段函數(shù)，對于分段函數(shù)的問題，一般選用分類討論和數(shù)形結(jié)合的思想方法進行求解．屬于中檔題．