Question

（1）已知2^x+2^-x=a（常數），求8^x+8^-x的值；
（2）已知x+y=12，xy=9，且x＜y，求

x 1 2 -y 1 2

x 1 2 +y 1 2

的值．

Answer 1

分析：（1）利用平方公式可得4^x+4^-x=（2^x）²+（2^-x）²
=（2^x+2^-x）²-2•2^x•2^-x=a²-2；利用立方和公式可得8^x+8^-x=2^3x+2^-3x=（2^x）³+（2^-x）³
=（2^x+2^-x）•[（2^x）²-2^x•2^-x+（2^-x）²]
=（2^x+2^-x）（4^x+4^-x-1）=a（a²-2-1）=a³-3a．
（2）利用分母有理化可得原式=

(x 1 2 -y 1 2 )2

(x 1 2 +y 1 2 )(x 1 2 -y 1 2 )

=

x+y-2 xy

x-y

，
利用已知及平方關系可得x-y=-

(x+y)2-4xy

即可．

解答：解：（1）∵4^x+4^-x=（2^x）²+（2^-x）²
=（2^x+2^-x）²-2•2^x•2^-x=a²-2，
∴8^x+8^-x=2^3x+2^-3x=（2^x）³+（2^-x）³
=（2^x+2^-x）•[（2^x）²-2^x•2^-x+（2^-x）²]
=（2^x+2^-x）（4^x+4^-x-1）=a（a²-2-1）=a³-3a．
（2）原式=

(x 1 2 -y 1 2 )2

(x 1 2 +y 1 2 )(x 1 2 -y 1 2 )

=

x+y-2 xy

x-y

，
∵x+y=12，xy=9，且x＜y，
∴x-y=-

(x+y)2-4xy

=-

122-4×9

=-

108

=-6

3

，
代入上式得原式=

12-2 9

-6 3

=-

3

3

．

點評：熟練掌握指數冪的運算性質、乘法公式、分母有理化等是解題的關鍵．