Question

20．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F₁，F₂，過F₁且與x軸垂直的直線交橢圓于A，B兩點，直線AF₂與橢圓的另一個交點為C，若$\overrightarrow{A{F}_{2}}$=2$\overrightarrow{{F}_{2}C}$，則橢圓的離心率為（　　）

• A． $\frac{\sqrt{5}}{5}$
• B． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• C． $\frac{\sqrt{10}}{5}$
• D． $\frac{3\sqrt{3}}{10}$

Answer 1

分析 由題意可知：將x=-c，代入橢圓方程可得y=±$\frac{{b}^{2}}{a}$，可設A（-c，$\frac{{b}^{2}}{a}$），C（x，y），由$\overrightarrow{A{F}_{2}}$=2$\overrightarrow{{F}_{2}C}$，則（2c，-$\frac{{b}^{2}}{a}$）=2（x-c，y），2c=2x-2c，-$\frac{{b}^{2}}{a}$=2y，求得x=2c，y=-$\frac{{b}^{2}}{2a}$，代入橢圓方程，由b²=a²-c²，整理得：5c²=a²，求得a=$\sqrt{5}$c，由橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

解答 解：由橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）焦點在x軸上，設橢圓的左、右焦點分別為F₁（-c，0），F₂（c，0），
由x=-c，代入橢圓方程可得y=±$\frac{{b}^{2}}{a}$，
可設A（-c，$\frac{{b}^{2}}{a}$），C（x，y），
由$\overrightarrow{A{F}_{2}}$=2$\overrightarrow{{F}_{2}C}$，
∴（2c，-$\frac{{b}^{2}}{a}$）=2（x-c，y），
即2c=2x-2c，-$\frac{{b}^{2}}{a}$=2y，
可得：x=2c，y=-$\frac{{b}^{2}}{2a}$，
代入橢圓方程可得，$\frac{4{c}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{b}^{2}}{4{a}^{2}}=1$，16c²+b²-4a²=0，
由b²=a²-c²，整理得：5c²=a²，
∴a=$\sqrt{5}$c，
由橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
故選：A．

點評 本題考查橢圓的標準方程，考查橢圓的通徑的應用，考查向量的坐標運算，考查橢圓的離心率公式，考查計算能力，屬于中檔題．