Question

2．已知函數$f（x）=2{cos^2}（x-\frac{π}{4}）-\sqrt{3}$cos2x+1，
（1）求函數f（x）的最小正周期及對稱軸方程；
（2）若對任意實數x，不等式|f（x）-m|＜2在x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]上恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用輔助角公式或二倍角和兩角基本公式將函數化為y=Asin（ωx+φ）的形式，再利用周期公式求函數的最小正周期，根據正弦函數的對稱軸方程求其對稱軸方程．最后將內層函數看作整體，放到正弦函數的增區間上，解不等式得函數的單調遞增區間；
（2）不等式|f（x）-m|＜2在x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]上恒成立，可得-2＜f（x）-m＜2在x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]上恒成立，求解f（x）＜2+m和f（x）＞m-2在x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]上恒成立，可得實數m的取值范圍．

解答 解：（1）函數$f（x）=2{cos^2}（x-\frac{π}{4}）-\sqrt{3}$cos2x+1，
化簡得：f（x）=1+cos（2x-$\frac{π}{2}$）-$\sqrt{3}$cos2x+1=sin2x-$\sqrt{3}$cos2x+2=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）+2．
∴函數f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{ω}=\frac{2π}{2}=π$；
對稱軸方程；2x-$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}+kπ$，（k∈Z）
解得：x=$\frac{5π}{6}+\frac{1}{2}kπ$．
即函數f（x）的對稱軸方程；x=$\frac{5π}{6}+\frac{1}{2}kπ$，（k∈Z）．
（2）由（1）可知f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）+2．
對任意實數x，不等式|f（x）-m|＜2在x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]上恒成立，
只需f（x）_max＜2+m和f（x）_min＞m-2在x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]上恒成立，
∵x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]，
∴2x-$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]．
當2x-$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$時，函數f（x）取得最大值為4．
當2x-$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{6}$時，函數f（x）取得最小值為3．
∴$\left\{\begin{array}{l}{2+m＞4}\\{m-2＜3}\end{array}\right.$，
解得：2＜m＜5．
故得實數m的取值范圍是（2，5）．

點評 本題主要考查對三角函數的化簡能力和三角函數的圖象和性質的運用，利用三角函數公式將函數進行化簡是解決本題的關鍵．屬于中檔題．