Question

6．已知拋物線C：y²=2px（p＞0）過點A（1，m），B為拋物線的準線與x軸的交點，若|AB|=2$\sqrt{2}$．
（1）求拋物線的方程；
（2）在拋物線上任取一點P（x₀，2），過點P作兩條直線分別與拋物線另外相交于點M，N，連接MN，若直線
PM，PN，MN的斜率都存在且不為零，設其斜率分別為k₁，k₂，k₃，求$\frac{1}{{k}_{1}}$+$\frac{1}{{k}_{2}}$-$\frac{1}{{k}_{3}}$的值．

Answer 1

分析 （1）拋物線C：y²=2px（p＞0）過點A（1，m），可得m²=2p，由B為拋物線的準線與x軸的交點，可得B$（-\frac{p}{2}，0）$．根據|AB|=2$\sqrt{2}$，即可得出．
（2）在拋物線上任取一點P（x₀，2），4x₀=2²，解得P（1，2）．設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），直線PM的方程為：y-2=k₁（x-1），與拋物線方程聯立化為：${y}^{2}-\frac{4}{{k}_{1}}$y+$\frac{8}{{k}_{1}}$-4=0，解得M$（\frac{（2-{k}_{1}）^{2}}{{k}_{1}^{2}}，\frac{4}{{k}_{1}}-2）$．同理可得：N$（\frac{（2-{k}_{2}）^{2}}{{k}_{2}^{2}}，\frac{4}{{k}_{2}}-2）$．再利用斜率計算公式化簡即可得出．

解答 解：（1）∵拋物線C：y²=2px（p＞0）過點A（1，m），
∴m²=2p，
∵B為拋物線的準線與x軸的交點，∴B$（-\frac{p}{2}，0）$．
又|AB|=2$\sqrt{2}$，
∴（1+$\frac{p}{2}$）²+m²=8，
∵p＞0，∴p=2，
∴拋物線的方程為y²=4x．
（2）在拋物線上任取一點P（x₀，2），∴4x₀=2²，解得x₀=1，∴P（1，2）．
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），直線PM的方程為：y-2=k₁（x-1），
聯立$\left\{\begin{array}{l}{y-2={k}_{1}（x-1）}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，化為：${y}^{2}-\frac{4}{{k}_{1}}$y+$\frac{8}{{k}_{1}}$-4=0，
解得y=2或y=$\frac{4}{{k}_{1}}-2$．∴x₁=$\frac{{y}_{1}^{2}}{4}$=$\frac{（2-{k}_{1}）^{2}}{{k}_{1}^{2}}$，∴M$（\frac{（2-{k}_{1}）^{2}}{{k}_{1}^{2}}，\frac{4}{{k}_{1}}-2）$．
同理可得：N$（\frac{（2-{k}_{2}）^{2}}{{k}_{2}^{2}}，\frac{4}{{k}_{2}}-2）$．
∴k₃=$\frac{\frac{4}{{k}_{2}}-2-（\frac{4}{{k}_{1}}-2）}{\frac{（2-{k}_{2}）^{2}}{{k}_{2}^{2}}-\frac{（2-{k}_{1}）^{2}}{{k}_{1}^{2}}}$=$\frac{{k}_{1}{k}_{2}}{（{k}_{1}+{k}_{2}）-{k}_{1}{k}_{2}}$，
可得$\frac{1}{{k}_{1}}$+$\frac{1}{{k}_{2}}$-$\frac{1}{{k}_{3}}$=1．

點評 本題考查了拋物線的標準方程及其性質、直線與拋物線相交問題、一元二次方程的根與系數的關系、斜率計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．