Question

3．已知函數f（x）=$\frac{1}{3}$x³-$\frac{1}{2}$x²+bx+c
（1）若f（x）在（-∞，+∞）上是增函數，求b的取值范圍
（2）若f（x）在x=1處取得極值，且x∈[-1，2]時，f（x）＜c²恒成立，求c的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數的導數，問題轉化為b≥（x-x²）_max，求出b的范圍即可；
（2）求出b的值，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區間，從而求出函數在[-1，2]的最大值，解關于c的不等式即可．

解答 解：（1）∵f（x）在（-∞，+∞）上是增函數，
∴f′（x）=x²-x+b≥0在R恒成立，
∴b≥（x-x²）_max，x∈R，
而x∈R時，x-x²≤$\frac{1}{4}$，
∴b≥$\frac{1}{4}$；
（2）∵f（x）在x=1處取得極值，
∴f′（1）=1-1+b=0，解得：b=0，
∴f′（x）=x²-x，
令f′（x）＞0，解得：x＞1或x＜0，
令f′（x）＜0，解得：0＜x＜1，
故f（x）在[-1，0）遞增，在（0，1）遞減，在（1，2]遞增，
故x=0時，f（x）_極大值=c，
x=2時，f（x）=c+$\frac{2}{3}$，
∴x∈[-1，2]時，f（x）_max=f（2）=c+$\frac{2}{3}$，
x∈[-1，2]時，f（x）＜c²，
∴c²＞f（x）_max=c+$\frac{2}{3}$，
解得：c＞$\frac{3+\sqrt{33}}{6}$或c＜$\frac{3-\sqrt{33}}{6}$．

點評 本題考查了函數的單調性、最值問題，考查導數的應用，是一道中檔題．