Question

【題目】已知函數，.

（1）若恒成立，求a的取值范圍；

（2）當時，函數的圖像與直線是否有公共點？如果有，求出所有公共點；若沒有，請說明理由；

（3）當時，有且，求證：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）有公共點，公共點為；（3）證明見解析.

【解析】

（1）利用分離常數法，結合導數，求得的取值范圍.

（2）由構造函數，利用導數研究的零點，由此判斷出函數的圖像與直線有公共點，并求得公共點.

（3）當時，求得的極值點，構造函數，利用導數研究的單調性，結合，確定的大小關系，進而證得不等式成立.

依題意，的定義域為.

（1）由于恒成立，即恒成立，即恒成立.

令，，

所以，

即在區間上遞減，在上遞增，

所以的最小值為，

所以.

（2）當時，，令，

構造函數，

，

所以當時，，遞增，當時，，遞減.

所以在時取得極小值也即是最小值，所以有唯一零點，所以方程有唯一解，故函數的圖像與直線有公共點.

（3）當時，，，

所以當時，，遞減；當時，，遞增.所以當時，取得極小值也即是最小值.

依題意且，不妨設.

構造函數，

則，

，

所以在區間上遞減，而，

所以時，，即；

當時，，即

由于，所以.

，

即，由于在上遞增，所以.