【題目】有2008名學生參加大型公益活動．若有兩名學生互相認識，則將這兩名學生看作一個合作小組．
（1）求合作小組數目的最小值
，使得無論學生認識的情況如何，都存在三名學生，他們兩兩都在一個合作小組；
（2）若合作小組數目為
，證明：存在四名學生
、
、
、
，使得和、和、和、和分別為一個合作小組．
【答案】(1) 
(2)見解析
【解析】
（1）設
．
下面證明：
．
將學生分為兩大組，每大組中有
名學生，且每大組中的學生互相不認識，而每個學生都和另外一個大組中的每個學生認識，則可以組成
個合作小組，但是不存在三名學生，他們兩兩都在一個合作小組．
若有
個合作小組，設學生
認識的學生最多，且認識
個學生，分別設為
，
，…，
．
若存在
、
滿足
與
互相認識，則、、滿足條件；
若，，…，中任意兩名學生都不在一個合作小組，則合作小組的數目不超過
．矛盾．
因此，
．
（2）設，
，
名學生分別為
，
，…，
，他們認識學生的數目分別為
，
，…，
，則
．
考慮每個學生認識的學生中所有可能的兩個小組，其總數為
．
所以，存在一個兩人小組
和
，他們都認識
和
．
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
中心在原點
，焦點在坐標軸上，直線
與橢圓在第一象限內的交點是
，點在
軸上的射影恰好是橢圓的右焦點
，橢圓另一個焦點是
，且
．
（1）求橢圓的方程；
（2）設過點
的直線
與交于點
（不在軸上），垂直于的直線與交于點
，與
軸交于點
．若
，且
，求直線的方程．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某中學舉行“新冠肺炎”防控知識閉卷考試比賽，總分獲得一等獎、二等獎、三等獎的代表隊人數情況如表，其中一等獎代表隊比三等獎代表隊多10人．該校政教處為使頒獎儀式有序進行，氣氛活躍，在頒獎過程中穿插抽獎活動．并用分層抽樣的方法從三個代表隊中共抽取16人在前排就坐，其中二等獎代表隊有5人（同隊內男女生仍采用分層抽樣）
名次 性別 | 一等獎 代表隊 | 二等獎 代表隊 | 三等獎 代表隊 |
男生 | ？ | 30 | ◎ |
女生 | 30 | 20 | 30 |
（1）從前排就坐的一等獎代表隊中隨機抽取3人上臺領獎，用X表示女生上臺領獎的人數，求X的分布列和數學期望E（X）．
（2）抽獎活動中，代表隊員通過操作按鍵，使電腦自動產生[﹣2，2]內的兩個均勻隨機數x，y，隨后電腦自動運行如圖所示的程序框圖的相應程序．若電腦顯示“中獎”，則代表隊員獲相應獎品；若電腦顯示“謝謝”，則不中獎．求代表隊隊員獲得獎品的概率．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數
，
.
（1）若
恒成立，求a的取值范圍；
（2）當
時，函數
的圖像與直線
是否有公共點？如果有，求出所有公共點；若沒有，請說明理由；
（3）當
時，有
且
，求證：
.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】定義：如果數列
的任意連續三項均能構成一個三角形的三邊長，則稱為“三角形”數列，對于“三角形”數列，如果函數
使得
仍為一個“三角形”數列，則稱是數列的“保三角形函數”
．
（1）已知是首項為2，公差為1的等差數列，若
是數列的“保三角形函數”，求k的取值范圍；
（2）已知數列
的首項為2010，
是數列的前n項和，且滿足
，證明是“三角形”數列．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】為了解人們對于國家新頒布的“生育二胎放開”政策的熱度，現在某市進行調查，隨機調查了
人，他們年齡的頻數分布及支持“生育二胎”人數如下表：
年齡 | [5,15) | [15,25) | [25,35) | [35,45) | [45,55) | [55,65) |
頻數 | 5 | 10 | 15 | 10 | 5 | 5 |
支持“生 育二胎” | 4 | 5 | 12 | 8 | 2 | 1 |
（1）由以上統計數據填下面2乘2列聯表，并問是否有99
的把握認為以45歲為分界點對“生育二胎放開”政策的支持度有差異：
年齡不低于45歲的人數 | 年齡低于45歲的人數 | 合計 | |
支持 | a= | c= | |
不支持 | b= | d= | |
合計 |
（2）若對年齡在
的被調查人中隨機選取兩人進行調查，恰好這兩人都支持“生育二胎放開”的概率是多少？
參考數據：P
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某保險公司對一個擁有20000人的企業推出一款意外險產品，每年每位職工只要交少量保費，發生意外后可一次性獲得若干賠償金，保險公司把企業的所有崗位共分為
三類工種，從事這三類工種的人數分別為12000，6000，2000，由歷史數據統計出三類工種的賠付頻率如下表（并以此估計賠付概率）：
已知三類工種職工每人每年保費分別為25元、25元、40元，出險后的賠償金額分別為100萬元、100萬元、50萬元，保險公司在開展此項業務過程中的固定支出為每年10萬元.
（1）求保險公司在該業務所或利潤的期望值；
（2）現有如下兩個方案供企業選擇：
方案1：企業不與保險公司合作，職工不交保險，出意外企業自行拿出與保險公司提供的等額賠償金賠償付給意外職工，企業開展這項工作的固定支出為每年12萬元；
方案2：企業與保險公司合作，企業負責職工保費的70%，職工個人負責保費的30%，出險后賠償金由保險公司賠付，企業無額外專項開支.
請根據企業成本差異給出選擇合適方案的建議.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知數列
滿足
，且
，點
在二次函數
的圖象上.
（1）試判斷數列
是否為算術平方根遞推數列？若是，請說明你的理由；
（2）記
，求證：數列
是等比數列，并求出通項公式
；
（3）在數列中依據某種順序從左至右取出其中的項
，…，把這些項重新組成一個新數列
，….若數列
是首項為
、公比為
的無窮等比數列，且數列各項的和為
，求正整數
的值.
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