Question

10．橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的半焦距為c，若直線y=2x與橢圓的一個交點的橫坐標恰好為c，則橢圓的離心率為（　　）

• A． $1-\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• B． $\sqrt{2}-\frac{1}{2}$
• C． $\sqrt{2}-1$
• D． $\sqrt{3}-1$

Answer 1

分析 由橢圓與直線y=2x交于（c，2c）點，代入橢圓的方程，利用橢圓的離心率及取值范圍，即可求得橢圓的離心率．

解答 解：由已知可得：橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）焦點在x軸上，橢圓與直線y=2x交于（c，2c）點，
則$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{4{c}^{2}}{{b}^{2}}$=1，即$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{4{c}^{2}}{{a}^{2}-{c}^{2}}$=1，
整理得：a⁴-6a²c²+c⁴=0，方程兩邊同除以a⁴，
由e=$\frac{c}{a}$，（1＜e＜1），即1-6e²+e⁴=0，
解得：e²=3-2$\sqrt{2}$，或e²=3+2$\sqrt{2}$（舍去），
∴e=$\sqrt{2}$-1，或e=1-$\sqrt{2}$（舍去），
故選：C．

點評 本題考查橢圓的標準方程及簡單幾何性質，考查橢圓a，b與c的關系，考查計算能力，屬于中檔題．