Question

2．體積為$\frac{32π}{3}$的球有一個內接正三棱錐P-ABC，PQ是球的直徑，∠APQ=60°，則三棱錐P-ABC的體積為（　　）

• A． $\frac{27\sqrt{3}}{4}$
• B． $\frac{9\sqrt{3}}{4}$
• C． $\frac{3\sqrt{3}}{4}$
• D． $\frac{\sqrt{3}}{4}$

Answer 1

分析 先確定球的半徑，計算△ABC的面積，再計算三棱錐P一ABC的體積．

解答 解：由題意可得球O的半徑為2，如圖，
因為PQ是球的直徑，所以∠PAQ=90°，∠APQ=60°，可得AP=2，
△ABC所在小圓圓心為O′，可由射影定理AP²=PO′•PQ，所以PO′=1，AO′=$\sqrt{3}$，
因為O′為△ABC的中心，所以可求出△ABC的邊長為3，面積為$\frac{9\sqrt{3}}{4}$，
因此，三棱錐P-ABC的體積為V=$\frac{1}{3}×\frac{9\sqrt{3}}{4}×1$=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$．
故選：C．

點評 本題考查球的內接正三棱錐，考查三棱錐體積的計算，正確計算△ABC的面積是關鍵．