Question

10．已知函數f（x）是定義在R上的偶函數，且在區間[0，+∞）上單調遞增，若實數b滿足$2f（{log_2}b）+f（{log_{\frac{1}{2}}}b）≤3f（1）$，則實數b的取值范圍是$[{\frac{1}{2}，2}]$．

Answer 1

分析 函數f（x）是定義在R上的偶函數，實數b滿足$2f（{log_2}b）+f（{log_{\frac{1}{2}}}b）≤3f（1）$，可得f（|log₂b|）≤f（1），利用f（x）在區間[0，+∞）上單調遞增，可得|log₂b|≤1，即可求出實數b的取值范圍．

解答 解：∵函數f（x）是定義在R上的偶函數，實數b滿足$2f（{log_2}b）+f（{log_{\frac{1}{2}}}b）≤3f（1）$，
∴f（|log₂b|）≤f（1），
∵f（x）在區間[0，+∞）上單調遞增，
∴|log₂b|≤1，
∴-1≤log₂b≤1，
∴b∈$[{\frac{1}{2}，2}]$，
故答案為$[{\frac{1}{2}，2}]$．

點評 本題考查函數的性質和運用，考查函數的奇偶性、單調性和運用，考查對數不等式的解法，考查運算能力，屬于中檔題．